Question

20．定義$\frac{n}{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}$為n個(gè)正數(shù)a₁，a₂，…，a_n的“均倒數(shù)”，若已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)的“均倒數(shù)”為$\frac{1}{2n+1}$，則a_n=4n-1．

Answer 1

分析 通過(guò)“均倒數(shù)”的定義可知a₁+a₂+…+a_n=n•（2n+1）、a₁+a₂+…+a_n+a_n+1=（n+1）•（2n+3），兩者作差計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：由題可知：$\frac{n}{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}$=$\frac{1}{2n+1}$，
∴a₁+a₂+…+a_n=n•（2n+1），
∴a₁+a₂+…+a_n+a_n+1=（n+1）•（2n+3），
兩式相減得：a_n+1=（n+1）•（2n+3）-n•（2n+1）=4（n+1）-1，
又∵$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{3}$，即a₁=3滿(mǎn)足上式，
∴a_n=4n-1，
故答案為：4n-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，注意解題方法的積累，屬于中檔題．