Question

【題目】已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為點(diǎn)在雙曲線C上.

（1）求雙曲線C的方程；

（2）已知Q(0,2)，P為雙曲線C上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)M滿足求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程；

（3）過點(diǎn)Q(0,2)的直線與雙曲線C相交于不同的兩點(diǎn)E、F，若求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3），或．

【解析】

（1）依題意，由，得雙曲線方程為，將點(diǎn)代入上式，能求出雙曲線方程；

（2）設(shè)由題意為線段的中點(diǎn)，則，由此能得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；

（3）設(shè)直線的方程為，代入雙曲線的方程并整理，得．直線與雙曲線相交于不同的兩點(diǎn)、，所以，利用弦長(zhǎng)公式與韋達(dá)定理解方程即可求出答案．

解：（1）依題意，由，

得雙曲線方程為，

將點(diǎn)代入上式，得，

解得（舍去）或，

故所求雙曲線方程為；

（2）設(shè)，

點(diǎn)滿足，為線段的中點(diǎn)，

，，

把點(diǎn)代入雙曲線方程為，

得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程：；

（3）依題意，可設(shè)直線的方程為，代入雙曲線的方程并整理，

得，

直線與雙曲線相交于不同的兩點(diǎn)、，

，

，

設(shè)，，

由韋達(dá)定理得，，

于是

，

，即，

化簡(jiǎn)得，

解得，或，

∴直線的方程為或，或。