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【題目】【2018衡水金卷（二）】如圖，矩形中， 且， 交于點．

（I）若點的軌跡是曲線的一部分，曲線關于軸、軸、原點都對稱，求曲線的軌跡方程；

（II）過點作曲線的兩條互相垂直的弦，四邊形的面積為，探究是否為定值？若是，求出此定值，若不是，請說明理由．

【答案】（I）曲線的軌跡方程為；（II）為定值．

【解析】試題分析：（1）可得M（﹣2，2λ），N（﹣2+4λ，2），，設Q（x，y），整理得： ，即可得曲線P的軌跡方程為；

（2）設直線的斜率為，把代入橢圓方程，化簡整理得.利用韋達定理易得四邊形GFHE的面積為， ，所以，

試題解析：

(1)設，

由,

求得,

∵,

∴,

∴，

整理得.

可知點的軌跡為第二象限的橢圓，由對稱性可知曲線的軌跡方程為.

（2）設，當直線斜率存在且不為零時，設直線的斜率為，把代入橢圓方程，化簡整理得.

，

.

∴

.

∵,

∴把換成，即得.

∴

，

，

，

∴.

當直線斜率不存在或為零時，

.

∴為定值.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，平面中兩條直線和相交于點O，對于平面上任意一點M，若p，q分別是M到直線和的距離，則稱有序非負實數對是點M的“距離坐標”.下列四個命題中正確命題為( )

A.若，則“距離坐標”為的點有且僅有1個

B.若，且，則“距離坐標”為的點有且僅有2個

C.若，則“距離坐標”為的點有且僅有4個

D.若，則點M在一條過點O的直線上

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【題目】如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC和△AA1C均是邊長為2的等邊三角形，點O為AC中點，平面AA1C1C⊥平面ABC．

（1）證明：A1O⊥平面ABC；

（2）求直線AB與平面A1BC1所成角的正弦值．

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【題目】如圖，在四棱錐中，底面為邊長為的正方形， ， 分別為， 的中點.

（1）求證： 平面；

（2）若， 平面，求直線與平面所成角的大小.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】設，是兩條不同的直線，，，是三個不同的平面，給出下列四個命題：

①若，，則

②若，，，則

③若，，則

④若，，則

其中正確命題的序號是（ ）

A.①和②B.②和③C.③和④D.①和④

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，直三棱柱中，側面是正方形， 側面， ，點是的中點.

（1）求證： //平面；

（2）若，垂足為，求二面角的余弦值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數），以平面直角坐標系的原點為極點，正半軸為極軸，取相同的長度單位建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.

（1）求直線和曲線的直角坐標方程，并指明曲線的形狀；

（2）設直線與曲線交于兩點， 為坐標原點，且，求.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】為提高產品質量，某企業(yè)質量管理部門經常不定期地抽查產品進行檢測，現在某條生產線上隨機抽取100個產品進行相關數據的對比，并對每個產品進行綜合評分（滿分100分），將每個產品所得的綜合評分制成如圖所示的頻率分布直方圖.記綜合評分為80分及以上的產品為一等品.

（1）求圖中的值；

（2）求綜合評分的中位數；

（3）用樣本估計總體，以頻率作為概率，按分層抽樣的思想，先在該條生產線中隨機抽取5個產品，再從這5個產品中隨機抽取2個產品記錄有關數據，求這2個產品中至多有一個一等品的概率.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】設命題p：x0∈（1，+∞），使得5+|x0|=6．q：x∈（0，+∞），+81x≥a．

（1）若a=9，判斷命題￢p，p∨q，（￢p）∧（￢q）的真假，并說明理由；

（2）設命題r：x0∈R，x02+2x0+a-9≤0判斷r成立是q成立的什么條件，并說明理由．

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