Question

已知函數(shù)f（x）=x²-ax（a≠0），g（x）=lnx，f（x）圖象與x軸交于點M（M異于原點），f（x）在M處的切線與直線x-y+10=0平行．
（Ⅰ）求f（2）的值；
（Ⅱ）已知非零實數(shù)t，求函數(shù)y=tg（x）-f（x）+x²，x∈[1，e]的最小值；
（Ⅲ）令F（x）=g（x）+g′（x），給定x₁，x₂∈（1，+∞），x₁＜x₂，對于兩個大于1的正數(shù)α，β，存在實數(shù)m滿足：α=mx₁+（1-m）x₂，β=（1-m）x₁+mx₂，并且使得不等式|F（α）-F（β）|＜|F（x₁）-F（x₂）|恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關系

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）利用導數(shù)的幾何意義，f（x）在M處的切線與直線x-y+10=0平行，即可得a值，從而得到f（2）的值；
（Ⅱ）求導數(shù)，分類討論，結合其性質求出最值；
（Ⅲ）先由題意得到F（x）=g（x）+g′（x）=lnx+

1

x

，再利用導數(shù)工具研究所以F（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調遞增，得到當x≥1時，F(xiàn)（x）≥F（1）＞0，下面對m進行分類討論：①當m∈（0，1）時，②當m≤0時，③當m≥1時，結合不等式的性質即可求出a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）y=f（x）圖象與x軸異于原點的交點M（a，0），f′（x）=2x-a
由題意可得2a-a=1，即a=1，…（2分）
∴f（x）=x²-x，f（2）=2²-2=2                  …（3分）
（Ⅱ）y=tg（x）-f（x）+x²=tlnx+x，
∴y′=

t

x

+1，
t＞-1時，x∈[1，e]為增函數(shù)，x=1時，y_min=1；
-e≤t≤-1時，[1，t]為減函數(shù)，[t，e]為增函數(shù)，x=t時，y_min=tln（-t）-t；
t＜-e時，x∈[1，e]為減函數(shù)，x=e時，y_min=t+e；
∴ymin=

1，(t＞-1，t≠0) tln(-t)-t，(-e≤t≤-1) t+e，(t＜-e)

…（8分）
（Ⅲ）F（x）=g（x）+g′（x）=lnx+

1

x

，F(xiàn)′（x）=

x-1

x2

≥0
所以F（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調遞增      　　…（9分）
∴當x≥1時，F(xiàn)（x）≥F（1）＞0
①當m∈（0，1）時，有
α=mx₁+（1-m）x₂＞mx₁+（1-m）x₁=x₁，
α=mx₁+（1-m）x₂＜mx₂+（1-m）x₂=x₂，
得α∈（x₁，x₂），同理β∈（x₁，x₂），…（10分）
∴由f（x）的單調性知  0＜F（x₁）＜F（α）、f（β）＜f（x₂）  
從而有|F（α）-F（β）|＜|F（x₁）-F（x₂）|，符合題設．…（11分）
②當m≤0時，
α=mx₁+（1-m）x₂≥mx₂+（1-m）x₂=x₂，
β=mx₂+（1-m）x₁≤mx₁+（1-m）x₁=x₁，
由f（x）的單調性知，
F（β）≤F（x₁）＜f（x₂）≤F（α）
∴|F（α）-F（β）|≥|F（x₁）-F（x₂）|，與題設不符 …（12分）
③當m≥1時，同理可得α≤x₁，β≥x₂，
得|F（α）-F（β）|≥|F（x₁）-F（x₂）|，與題設不符．…（13分）
∴綜合①、②、③得 m∈（0，1）…（14分）

點評：本小題主要考查函數(shù)單調性的應用、利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性等基礎知識，考查運算求解能力、化歸與轉化思想．屬于中檔題．