Question

若函數(shù)f（x）是定義在（-∞，+∞）上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=2^x+1
（1）求f（0）的值．
（2）當(dāng)x＜0時(shí)，函數(shù)f（x）的解析式．
（3）作出函數(shù)f（x）的圖象．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義，f（x）=-f（-x），令x=0可得f（0）的值．
（2）當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0，結(jié)合當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=2^x+1，及奇函數(shù)的定義，可得當(dāng)x＜0時(shí)，函數(shù)f（x）的解析式．
（3）由已知及（2）中函數(shù)的解析式，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖象，可得函數(shù)f（x）的圖象．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）是定義在（-∞，+∞）上的奇函數(shù)，
∴f（x）=-f（-x），
令x=0，則f（0）=-f（0），
即f（0）=0
（2）當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0，
∵當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=2^x+1，
∴f（-x）=2^-x+1=-f（x），
∴f（x）=-2^-x-1=-（

1

2

）^x-1
（3）∵x＞0時(shí)，f（x）=2^x+1，
x=0時(shí)，f（0）=0
x＞0時(shí)，f（x）=-（

1

2

）^x-1
故函數(shù)f（x）的圖象如圖所示：

點(diǎn)評：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)圖象的作法，函數(shù)解析式的求法，函數(shù)的值，函數(shù)奇偶性的定義，熟練掌握函數(shù)奇偶性的定義及性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．