Question

（本題滿(mǎn)分12分）設(shè)橢圓E: （a,b>0）過(guò)M（2，） ，N(,1)兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線(xiàn)與橢圓E恒有兩個(gè)交A,B且？若存在，寫(xiě)出該圓的方程，若不存在說(shuō)明理由。

Answer 1

（1）
（2）存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線(xiàn)與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且．

試題分析：（1）因?yàn)闄E圓E: （a,b>0）過(guò)M（2，），N(,1)兩點(diǎn),
所以解得所以橢圓E的方程為
（2）假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線(xiàn)與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且,設(shè)該圓的切線(xiàn)方程為解方程組得,即,
則△=,即
，
 
要使,需使,即,所以,所以又,
所以,所以,即或,
因?yàn)橹本�(xiàn)為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線(xiàn),
所以圓的半徑為,,,
所求的圓為,此時(shí)圓的切線(xiàn)都滿(mǎn)足或,
而當(dāng)切線(xiàn)的斜率不存在時(shí)切線(xiàn)為與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為或滿(mǎn)足,
綜上, 存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線(xiàn)與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且．
點(diǎn)評(píng)：中檔題，涉及直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系問(wèn)題，往往要利用韋達(dá)定理。存在性問(wèn)題，往往從假設(shè)存在出發(fā)，運(yùn)用題中條件探尋得到存在的是否條件具備。（2）小題解答中，集合韋達(dá)定理，應(yīng)用平面向量知識(shí)證明了圓的存在性。