Question

15．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x-1}{ax}$-lnx（a≠0）．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）在[$\frac{1}{e}$，e]上的最大值和最小值（其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）求證：ln$\frac{{e}^{2}}{x}$≤$\frac{1+x}{x}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最值的關(guān)系即可求出，
（Ⅱ）先求導(dǎo)，再分類討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性即可求出單調(diào)區(qū)間，
（Ⅲ）原不等式轉(zhuǎn)化為1-$\frac{1}{x}$-lnx≤0，根據(jù)（Ⅰ）的結(jié)論即可證明．

解答 解：（Ⅰ）a=1時(shí)，f（x）=$\frac{x-1}{x}$-lnx=1-$\frac{1}{x}$-lnx，f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）．
∴f′（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$=$\frac{1-x}{{x}^{2}}$，
∴由f′（x）＞0，解得0＜x＜1，f′（x）＜0，解得x＞1，
∴f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減．
∴在[$\frac{1}{e}$，1]上單調(diào)遞增，在[1，e]上單調(diào)遞減．
∴f（x）在[$\frac{1}{e}$，e]上的最大值為f（1）=1-1-ln1=0．
又f（$\frac{1}{e}$）=1-e-ln$\frac{1}{e}$=2-e，f（e）=1-$\frac{1}{e}$-lne=-$\frac{1}{e}$，
∴f（$\frac{1}{e}$）＜f（e）．
∴f（x）在[$\frac{1}{e}$，e]上的最小值為f（$\frac{1}{e}$）=2-e．
（Ⅱ）由題得，f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
且f′（x）=$\frac{1×ax-a（x-1）}{（ax）^{2}}$-$\frac{1}{x}$=$\frac{1-ax}{a{x}^{2}}$=-$\frac{x-\frac{1}{a}}{{x}^{2}}$
若a＜0，∵x＞0，
∴x-$\frac{1}{a}$＞0，
∴f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；
若a＞0，當(dāng)x∈（0，$\frac{1}{a}$）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（$\frac{1}{a}$，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減．
綜上，若a＜0，f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，+∞）；
若a＞0，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，$\frac{1}{a}$），單調(diào)減區(qū)間為（$\frac{1}{a}$，+∞）．
（Ⅲ）要證：ln$\frac{{e}^{2}}{x}$≤$\frac{1+x}{x}$，
需證2-lnx≤1+$\frac{1}{x}$，
需證1-$\frac{1}{x}$-lnx≤0．
由（Ⅰ）可知，f（x）=1-$\frac{1}{x}$-lnx在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減．
∴f（x）在（0，+∞）上的最大值為f（1）=1-1-ln1=0，即f（x）≤0．
∴1-$\frac{1}{x}$-lnx≤0恒成立．
∴l(xiāng)n$\frac{{e}^{2}}{x}$≤$\frac{1+x}{x}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性和最值的關(guān)系，以及不等式恒成立，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．