Question

函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（a，b）對稱的充要條件是f（a-x）+f（a+x）=2b（或f（x）+f（2a-x）=2b．如果函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（a，b）對稱，則稱（a，b）為“中心點(diǎn)”，稱函數(shù)y=f（x）為“中心函數(shù)”．
①已知f（x）在R上的“中心點(diǎn)”為（a，f（a））則函數(shù)F（x）=f（x+a）-f（a）為R上的奇函數(shù)．
②已知定義在R上的偶函數(shù)y=f（x）的“中心點(diǎn)”為（1，1），則方程f（x）=1為[0，10]上至少有5個根．
③已知f（x）是定義在R上的增函數(shù)，點(diǎn)（1，0）為函數(shù)y=f（x-1）的“中心點(diǎn)”，若不等式f（m²-6m+21）+f（n²-8n）＜0對?m，n∈R恒成立，則當(dāng)m＞3時，13＜m²+n²＜49．
④已知函數(shù)f（x）=2x-cosx為“中心函數(shù)”，數(shù)列{a_n}是公差為

π

8

的等差數(shù)列．若

7

n=1

f（a_n）=7π，則

[f(a4)]2

a1a7

=

64

5

，
其中你認(rèn)為是正確的所有命題的序號是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用,抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①根據(jù)函數(shù)“中心點(diǎn)”的定義，利用函數(shù)奇偶性的定義即可證明函數(shù)F（x）=f（x+a）-f（a）為R上的奇函數(shù)．
②根據(jù)函數(shù)y=f（x）為R上的偶函數(shù)“中心點(diǎn)”為（1，1），求出方程f（x）=1的根，即可得到結(jié)論．
③已知f（x）是定義在R上的增函數(shù)，點(diǎn)（1，0）為函數(shù)y=f（x-1）的“中心點(diǎn)”，則得到函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，利用函數(shù)的奇偶性即可得到結(jié)論．
④根據(jù)等差數(shù)列的通項公式，求出a₁，a₄，a₇的值，代入進(jìn)行求解即可．

解答： 解：①若F（x）=f（x+a）-f（a），則F（-x）+F（x）=f（x+a）-f（a）+f（-x+a）-f（a）=f（a-x）+f（a+x）-2f（b），
∵f（x）在R上的“中心點(diǎn)”為（a，f（a）），
∴f（a-x）+f（a+x）=2f（a），
即F（-x）+F（x）=f（a-x）+f（a+x）-2f（b）=0，
∴F（-x）=-F（x），∴函數(shù)F（x）=f（x+a）-f（a）為R上的奇函數(shù)，∴①正確．
②若函數(shù)y=f（x）為R上的偶函數(shù)“中心點(diǎn)”為（1，1），則f（x）+f（2-x）=2，
當(dāng)x=1時，2f（1）=2，∴f（1）=1，
當(dāng)x=-1時，f（-1）+f（3）=f（1）+f（3）=2，即f（3）=1，
當(dāng)x=-3時，f（-3）+f（5）=f（3）+f（5）=2，即f（5）=1，
當(dāng)x=-5時，f（-5）+f（7）=f（5）+f（7）=2，即f（7）=1，
當(dāng)x=-7時，f（-7）+f（9）=f（7）+f（9）=2，即f（9）=1，
∴方程f（x）=1為[0，10]上至少有5個根，∴②正確．
③點(diǎn)（1，0）為函數(shù)y=f（x-1）的“中心點(diǎn)”，點(diǎn)（0，0）為函數(shù)y=f（x）的“中心點(diǎn)”，
即函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，
則不等式f（m²-6m+21）+f（n²-8n）＜0等價為不等式f（m²-6m+21）＜-f（n²-8n）=（-n²+8n），
∵f（x）是定義在R上的增函數(shù)，
∴m²-6m+21＜-n²+8n，
即（m-3）²+（n-4）²＜4，表示圓心為（3，4），半徑為2的圓及其內(nèi)部，
當(dāng)m＞3時，為右半圓，
設(shè)z=m²+n²，則z的幾何意義表示為動點(diǎn)P到原點(diǎn)距離的平方，
由圖象可知當(dāng)P位于點(diǎn)A（3，6）時，z取得最大值為z=9+36=45，
當(dāng)P位于點(diǎn)B（3，2）時，z取得最小值為z=9+4=13，
∴13＜m²+n²＜45．即13＜m²+n²＜49成立，∴③正確．
④f（x）=2x-cosx，
∴f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₇）=2（a₁+a₂+…+a₇）-（cosa₁+cosa₂+…+cosa₇），
∵{a_n}是公差d=

π

8

的等差數(shù)列，
∴a₁+a₂+…+a₇=7a₄，
cosa₁+cosa₂+…+cosa₇=cos（a₄-3d）+cos（a₄-2d）+（cos（a₄-d）+cosd+cos（a₄+d）+cos（a₄+2d）+cos（a₄+3d）=2cosa₄（cos3d+cos2d+cosd），
∴由

7

n=1

f（a_n）=f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₇）=7π，
得14a₄-2cosa₄（cos3d+cos2d+cosd）=7π，
∴必有14a₄=7π，且cosa₄=0，
故a₄=

π

2

，
∵公差d=

π

8

，
∴a₁=

π

8

，a₇=

7π

8

，
則

[f(a4)]2

a1a7

=

(2× π 2 -cos π 2 )2

π 8 × 7π 8

=

π2

7π2 64

=

64

7

≠

64

5

，
∴④錯誤．
故答案為：①②③

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)中心的定義的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量量較大，難度非常大．