Question

【題目】如圖， 是圓的直徑，點(diǎn)是圓上異于的點(diǎn)， 垂直于圓所在的平面，且．

（1）若為線段的中點(diǎn)，求證平面；

（2）求三棱錐體積的最大值；

（3）若，點(diǎn)在線段上，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）（3）．

【解析】試題分析：

(1)由等腰三角形三線合一可得，由線面垂直的定義可得，最后利用線面垂直的判斷定理可得平面．

(2)當(dāng)?shù)酌?/span>ABC面積最大時(shí)，三棱錐體積由最大值，由幾何關(guān)系可得當(dāng)時(shí)， 面積的最大值為，結(jié)合三棱錐體積公式可得三棱錐體積的最大值為．

(3)將將側(cè)面繞旋轉(zhuǎn)至平面C，使之與平面共面，由平面幾何的知識(shí)可知， ， 共線時(shí)， 取得最小值．結(jié)合箏形的性質(zhì)計(jì)算可得的最小值為．

試題解析：

（1）在中，因?yàn)?/span>， 為的中點(diǎn)，所以．

又垂直于圓所在的平面，所以．

因?yàn)?/span>，所以平面．

（2）因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以當(dāng)時(shí)， 到的距離最大，且最大值為．

又，所以面積的最大值為．

又因?yàn)槿忮F的高，

故三棱錐體積的最大值為．

（3）在中， ， ，所以．

同理，所以．在三棱錐中，將側(cè)面繞旋轉(zhuǎn)至平面C，使之與平面共面，如圖所示．

當(dāng)， ， 共線時(shí)， 取得最小值．

又因?yàn)?/span>， ，所以垂直平分，即為中點(diǎn)．

從而，

亦即的最小值為．