已知定義在R的函數(shù)數(shù)學(xué)公式(a,b為實(shí)常數(shù)).
(Ⅰ)當(dāng)a=b=1時(shí),證明:f(x)不是奇函數(shù);
(Ⅱ)設(shè)f(x)是奇函數(shù),求a與b的值;
(Ⅲ)當(dāng)f(x)是奇函數(shù)時(shí),證明對任何實(shí)數(shù)x、c都有f(x)<c2-3c+3成立.

解:(Ⅰ),,
所以f(-1)≠-f(1),f(x)不是奇函數(shù);(2分)
(Ⅱ)f(x)是奇函數(shù)時(shí),f(-x)=-f(x),
對任意x∈R恒成立.(4分)
化簡整理得(2a-b)•22x+(2ab-4)•2x+(2a-b)=0對任意x∈R恒成立.(6分)
,∴(舍)或,∴.(8分)
另解:∵f(x)是定義在R的奇函數(shù),∴,,
,驗(yàn)證滿足,∴
(Ⅲ)由(Ⅱ)得:,
∵2x>0,∴2x+1>1,
,從而;(12分)
對任何實(shí)數(shù)c成立;
所以對任何實(shí)數(shù)x、c都有f(x)<c2-3c+3成立.(14分)
分析:(I)證明不是奇函數(shù),可用特殊值法;
(II)用奇函數(shù)定義f(-x)=-f(x),再用待定系數(shù)法求解;
(III)即證明c2-3c+3大于f(x)的最大值,所以先求f(x)的最大值.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查奇函數(shù)的應(yīng)用及恒成立問題.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知定義在R的函數(shù)f(x)=
-2x+a2x+1+b
(a,b為實(shí)常數(shù)).
(Ⅰ)當(dāng)a=b=1時(shí),證明:f(x)不是奇函數(shù);
(Ⅱ)設(shè)f(x)是奇函數(shù),求a與b的值;
(Ⅲ)當(dāng)f(x)是奇函數(shù)時(shí),證明對任何實(shí)數(shù)x、c都有f(x)<c2-3c+3成立.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知定義在R的函數(shù)f(x)=m+
1
2x+1
為奇函數(shù),則m的值是(  )
A、0
B、-
1
2
C、
1
2
D、2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知定義在R的函數(shù)f(x)對任意實(shí)數(shù)x,y恒有f(x)+f(y)=f(x+y),且當(dāng)x>0時(shí),f(x)<0,又f(1)=-
23
,
(1)求征,f(x)為奇函數(shù);
(2)求證:f(x)在R上是減函數(shù);
(3)求f(x)在[-3,6]上的最大值與最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知定義在R的函數(shù)f(x)對任意的x1,x2都滿足f(x1+x2)=f(x1)+f(x2),且當(dāng)x<0時(shí),f(x)<0.
(1)判斷f(x)的單調(diào)性和奇偶性,并說明理由;
(2)若不等式f[sin2θ-(2+m)(sinθ+cosθ)-
4
sinθ+cosθ
]+f(3+2m)>0
對一切θ∈[0,
π
2
]
恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年江蘇省蘇州市新區(qū)一中高一(上)期中數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

已知定義在R的函數(shù)(a,b為實(shí)常數(shù)).
(Ⅰ)當(dāng)a=b=1時(shí),證明:f(x)不是奇函數(shù);
(Ⅱ)設(shè)f(x)是奇函數(shù),求a與b的值;
(Ⅲ)當(dāng)f(x)是奇函數(shù)時(shí),證明對任何實(shí)數(shù)x、c都有f(x)<c2-3c+3成立.

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