Question

數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1=

1

2

a_n+1．
（1）寫出a₂，a₃，a₄．
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析：（1）通過a₁=1，a_n+1=

1

2

a_n+1．利用n=2，3，4，即可求出a₂，a₃，a₄．
（2）解法一：通過（1）猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后利用數(shù)學(xué)歸納法證明；
解法二：構(gòu)造{b_n}是以b₁=-1，

1

2

為公比的等比數(shù)列，求出b_n然后求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

解答：解：（1）因?yàn)?span id="3jznl5t" class="MathJye">a1=1，an+1=

1

2

an+1，
所以a2=

1

2

a1+1=

1

2

+1=

3

2

，
a3=

1

2

a2+1=

1

2

•

3

2

+1=

7

4

，
a4=

1

2

a3+1=

1

2

•

7

4

+1=

15

8

．-------------------（3分）
（2）解法一：猜想：an=

2n-1

2n-1

．下面用數(shù)學(xué)歸納法證明，
證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a1=

21-1

21-1

=1，滿足上式，顯然成立；-------------------（4分）
（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)ak=

2k-1

2k-1

，那么當(dāng)n=k+1時(shí)，ak+1=

1

2

ak+1=

1

2

•

2k-1

2k-1

+1=

2k-1

2k

+1=

2k-1+2k

2k

=

2k+1-1

2k

滿足上式，
即當(dāng)n=k+1時(shí)猜想也成立．-------------------（7分）
由（1）（2）可知，對(duì)于n∈n^*都有an=

2n-1

2n-1

．------------------（8分）
解法二：因?yàn)?span id="hnhvftr" class="MathJye">an+1=

1

2

an+1，所以an+1-2=

1

2

an+1-2，即an+1-2=

1

2

(an-2)，-------（4分）
設(shè)b_n=a_n-2，則bn+1=

1

2

bn，即{b_n}是以b₁=-1，

1

2

為公比的等比數(shù)列，
所以bn=b1•qn-1=-

1

2n-1

，------------------（7分）       
 所以an=bn+2=

2n-1

2n-1

．-----------------（8分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，猜想必須利用數(shù)學(xué)歸納法證明．