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已知cosα+sinβ=
3
，sinα+cosβ的取值范圍是D，x∈D，則函數log
1
9
2x+3
4x+7
的最小值為
 
．
考點：復合函數的單調性
專題：計算題,函數的性質及應用,三角函數的求值
分析：令t=sinα+cosβ，①cosα+sinβ=
3
，②，①2+②2，由平方關系和兩角和的正弦公式及正弦函數的值域即可得到范圍D，令y=
2x+3
4x+7
，則可運用導數求出區(qū)間D的單調性，即可得到y的最大值，從而由對數函數的單調性得到最小值．
解答： 解：令t=sinα+cosβ，①
cosα+sinβ=
3
，②
①2+②2，得t2+3=2+2sin（α+β）．
∴2sin（α+β）=t2+1∈[-2，2]．
即t2+1≤2且t2+1≥-2，解得-1≤t≤1，
即有取值范圍D為[-1，1]，
由于x∈D，令y=
2x+3
4x+7
，則y=
2x+3
2(2x+3)+1

=
1
2
2x+3
+
1
2x+3
≤
1
2
2
，
當且僅當2
2x+3
=
1
2x+3
，即有x=-
5
4
∉[-1，1]，
故y取不到最大值
1
2
2
．
則函數的導數y′=
-4x-5
2x+3
•(4x+7)2
，在[-1，1]上y′＜0，函數y是減函數，
則有x=-1，即y有最大值為
1
3
，
則函數log
1
9
2x+3
4x+7
的最小值為log
1
9
1
3
=
1
2
．
故答案為：
1
2
．
點評：本題考查三角函數的取值范圍和復合函數的最值，考查三角恒等變換公式的運用，考查函數的單調性及運用，考查運算能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
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已知復數（m-2）+（m+3）i是實數，則實數m=
 
．

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方程2x2-tx-t2=0在（-∞，-1）和（2，+∞）內各有一個實根，求t的取值范圍．

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y=kx+k，y=
k
x
在同一坐標系中的圖象大致是（　�。�
A、
B、
C、
D、

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已知log248=a，則用a表示log412為
 
．

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表示如圖中陰影部分所示平面區(qū)域的不等式組是（　�。�
A、
2x+3y-12≤0
2x-3y-6≤0
3x+2y-6≥0
B、
2x+3y-12≤0
2x-3y-6≥0
3x+2y-6≥0
C、
2x+3y-12≤0
2x-3y-6≤0
3x+2y-6≤0
D、
2x+3y-12≥0
2x-3y-6≤0
3x+2y-6≥0

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知等差數列{an}的前n項和Sn滿足S3=0，S5=-5，
（1）求{an}的通項公式；
（2）求數列{
1
a2n-1a2n+1
}的前n項和．

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科目：高中數學 來源： 題型：

計算：
（1）3x-
1
3
（2x
4
3
-
1
3
x-
2
3
）；
（2）(
8s6t-3
27r9
)-
2
3
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知關于x的不等式（ax-1）（x+1）＞0．
（1）若此不等式的解集為{x|-1＜x＜-
1
2
}，求實數a的值；
（2）若a∈R，解這個關于x的不等式．

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