Question

已知橢圓C：=1（a＞b＞0）的離心率為，其左、右焦點(diǎn)為F₁、F₂，點(diǎn)P是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，且|OP|=，=，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)．Q為橢圓的左頂點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)S（-，0），且斜率為k的動(dòng)直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，是否存在直線l，使得VQAB為等腰三角形？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，由|OP|=得關(guān)系式，再由得關(guān)系式，兩式聯(lián)立求出c，再由離心率求得a，結(jié)合b²=a²-c²求出b，則橢圓方程可求；
（2）設(shè)出直線l的方程，和橢圓方程聯(lián)立后利用根與系數(shù)關(guān)系求出A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出A，B的中點(diǎn)，若否存在直線l，使得△QAB為等腰三角形，則AB中點(diǎn)與Q的連線與AB垂直，由斜率之積等于-1列式求k的值，此時(shí)得到了矛盾式子，說(shuō)明使得△QAB為等腰三角形的直線l不存在．
解答：解：（1）設(shè)P（x，y），∵，∴①
又，∴，即②
①代入②得：．又e=，∴a=2，b=1．
故所求橢圓方程為；
（2）直線l的方程為，
聯(lián)立，得（25+100k²）x²+240k²x+144k²-100=0．
，．
設(shè)AB的中點(diǎn)M（x，y），
則，．
所以．
若三角形QAB為等腰三角形，則MQ⊥AB，
即，此式無(wú)解，
所以使得△QAB為等腰三角形的直線l不存在．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，是難題．