Question

已知函數(shù)f（x）=a^x-a^-x，（a＞1，x∈R）．
（Ⅰ） 判斷并證明函數(shù)f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）判斷并證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）若f（1-t）+f（1-t²）＜0，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）因為函數(shù)f（x）的定義域為R，又f（-x）=a^-x-a^x=-f（x）
所以f（x）是奇函數(shù)
（Ⅱ）函數(shù)f（x）為R上的增函數(shù)．
證明：在R上任取x₁＜x_2，
則f(x1)-f(x2)=ax1-a-x1-ax2+a-x2=(ax1-ax2)+(a-x2-a-x1)
=(ax1-ax2)  (

ax1 ax2 +1

ax1ax2

)
因為x₁＜x₂，又a＞1，所以ax1＜ax2，ax1-ax2＜0，

ax1ax2+1

ax1ax2

＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
所以f（x₁）＜f（x₂）．
所以函數(shù)f（x）為R上的增函數(shù)
（Ⅲ）由f（1-t）+f（1-t²）＜0，可得f（1-t）＜-f（1-t²）．
由函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，可得f（1-t）＜f（t²-1）．
又函數(shù)f（x）為R上的增函數(shù)，所以1-t＜t²-1，即t²+t-2＞0．
解得　t＜-2，或t＞1