Question

12．已知α是第一角限的角，化簡(jiǎn)$\sqrt{\frac{1+sinα}{1-sinα}}$-$\sqrt{\frac{1-sinα}{1+sinα}}$．

Answer 1

分析 直接利用二倍角公式化簡(jiǎn)求解即可．

解答 解：α是第一角限的角，$\frac{α}{2}∈$$（kπ，kπ+\frac{π}{4}）$，k∈Z．
$\sqrt{\frac{1+sinα}{1-sinα}}$-$\sqrt{\frac{1-sinα}{1+sinα}}$=$\left|\frac{sin\frac{α}{2}+cos\frac{α}{2}}{sin\frac{α}{2}-cos\frac{α}{2}}\right|-\left|\frac{sin\frac{α}{2}-cos\frac{α}{2}}{sin\frac{α}{2}+cos\frac{α}{2}}\right|$，
當(dāng)$\frac{α}{2}∈$$（2nπ，2nπ+\frac{π}{4}）$，n∈Z時(shí)，上式=$\frac{sin\frac{α}{2}+cos\frac{α}{2}}{cos\frac{α}{2}-sin\frac{α}{2}}-\frac{cos\frac{α}{2}-sin\frac{α}{2}}{sin\frac{α}{2}+cos\frac{α}{2}}$=$\frac{2sinα}{cosα}$=2tanα．
當(dāng)$\frac{α}{2}∈$$（2nπ+π，2nπ+\frac{5π}{4}）$，n∈Z時(shí)，上式=$\frac{sin\frac{α}{2}+cos\frac{α}{2}}{cos\frac{α}{2}-sin\frac{α}{2}}-\frac{cos\frac{α}{2}-sin\frac{α}{2}}{sin\frac{α}{2}+cos\frac{α}{2}}$=$\frac{2sinα}{cosα}$=2tanα．
綜上，$\sqrt{\frac{1+sinα}{1-sinα}}$-$\sqrt{\frac{1-sinα}{1+sinα}}$=2tanα．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，二倍角的正弦函數(shù)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．