Question

已知f（x）=若x₀＞0，且點A（x₀，f（x₀））關于坐標原點的對稱點也在f（x）的圖象上，則稱x₀為f（x）的一個“靚點”．
（1）當a=b=c=0時，求f（x）的“靚點”；
（2）當a=0且b=1時，若f（x）在（0，1）上有且只有一個“靚點”，求c的取值范圍；
（3）當c=a+1且b=0時，若f（x）恒有“靚點”，求a的取值范圍．

Answer 1

解：因為當x＜0時，f（x）=ax²-x-5，其關于坐標原點對稱圖象的解析式為g（x）=-ax²-x+5，所以函數f（x）的“靚點”就是g（x）=-ax²-x+5（x＞0）與t（x）=b•2^x-cx+3（x＞0）這兩個函數圖象交點的橫坐標．
（1）當a=b=c=0時，g（x）=-x+5（x＞0），t（x）=3（x＞0）…
由，解得x=2，所以函數f（x）的“靚點”為x=2 …
（2）當a=0且b=1時，g（x）=-x+5（x＞0），t（x）=2^x-cx+3（x＞0），
此時函數f（x）的“靚點”即為方程-x+5=2^x-cx+3的正根 …
方程變形為2^x=（c-1）x+2，設y₁=2^x，y₂=（c-1）x+2
因為當x=0時，y₁＜y₂，結合圖象知，要想f（x）在（0，1）上有且只有一個“靚點”，
則當x=1時，必須有y₁＞y₂，即2＞（c-1）+2，解得c＜1…
（3）當c=a+1且b=0時，g（x）=-ax²-x+5（x＞0），t（x）=-（a+1）x+3（x＞0），
要想f（x）恒有“靚點”，則方程-ax²-x+5=-（a+1）x+3，
即方程ax²-ax-2=0恒有正根 …
記h（x）=ax²-ax-2，
①當a=0時，方程無解，不適合題意…
②當a＞0時，因為h（0）=-2＜0，且h（x）的圖象是開口向上的拋物線，所以方程h（x）=0一定有正根，所以a＞0適合題意…
③當a＜0時，由，解得a≥0或a≤-8，所以a≤-8…
綜上所述，a的取值范圍是a＞0或a≤-8 …
（說明：其它解法，仿此給分）
分析：先根據題中新定義的“靚點”可知，當x＜0時，f（x）=ax²-x-5，其關于坐標原點對稱圖象的解析式為g（x）=-ax²-x+5，所以函數f（x）的“靚點”就是g（x）=-ax²-x+5（x＞0）與t（x）=b•2^x-cx+3（x＞0）這兩個函數圖象交點的橫坐標．
（1）當a=b=c=0時，g（x）=-x+5（x＞0），t（x）=3（x＞0）通過解方程組，即可得出函數f（x）的“靚點”；
（2）當a=0且b=1時，g（x）=-x+5（x＞0），t（x）=2^x-cx+3（x＞0），此時函數f（x）的“靚點”即為方程-x+5=2^x-cx+3的正根，通過研究此方程有正根即可求出c的取值范圍；
（3）當c=a+1且b=0時，g（x）=-ax²-x+5（x＞0），t（x）=-（a+1）x+3（x＞0），要想f（x）恒有“靚點”，則方程-ax²-x+5=-（a+1）x+3，即方程ax²-ax-2=0恒有正根．記h（x）=ax²-ax-2，通過對字母a的討論研究其圖象與性質即可求出a的取值范圍．
點評：本小題主要考查函數與方程的綜合運用，考查應用所學函數數的知識、思想和方法解決實際問題的能力，建立函數式、解方程、不等式等基礎知識