Question

【題目】已知直線l經(jīng)過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F，且與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)．

（1）若AF＝4，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；

（2）求線段AB的長的最小值．

Answer 1

【答案】（1） （3，2）或（3，－2） （2）4

【解析】

試題（1）由y2＝4x，得p=2，其準(zhǔn)線方程為x=-1，焦點(diǎn)F（1，0）．設(shè)A，B．由拋物線的定義可知，，從而．由此能得到點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）分類討論，設(shè)直線l的方程為y=k（x-1），代入y2＝4x整理得，其兩根為，且．由拋物線的定義可知線段AB的長

試題解析：（1）由拋物線的定義可知，AF＝x1＋，

從而x1＝4－1＝3．

代入y2＝4x，解得y1＝±．

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，）或（3，－）．

（2）當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，

設(shè)直線l的方程為y＝k（x－1）．

與拋物線方程聯(lián)立，

消去y，整理得k2x2－（2k2＋4）x＋k2＝0，

因?yàn)橹本�與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，

則k≠0，并設(shè)其兩根為x1，x2，則

由拋物線的定義可知，

當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x＝1，與拋物線相交于A（1，2），B（1，－2），

此時(shí)AB＝4，所以，AB≥4，即線段AB的長的最小值為4．