Question

已知點(diǎn)P，A，B，C，D是球O表面上的點(diǎn)，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是邊長為2

3

的正方形，若PA=2

6

，求△OAB的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：球內(nèi)接多面體

專題：計(jì)算題,空間位置關(guān)系與距離

分析：可將P，A，B，C，D補(bǔ)全為長方體ANCD-A′B′C′D′，讓P與A′重合，則該長方體的對(duì)角線PC即為球O的直徑（球O為該長方體的外接球，于是可求得PC的長度，可判斷△OAB為等邊三角形，從而而求其面積．

解答： 解：依題意，可將P，A，B，C，D補(bǔ)全為長方體ABCD-A′B′C′D′，讓P與A′重合，則球O為該長方體的外接球，長方體的對(duì)角線PC即為球O的直徑．
∵ABCD是邊長為2

3

正方形，PA⊥平面ABCD，PA=2

6

，
∴PC²=AP²+AC²=24+24=48，
∴2R=4

3

，R=OP=2

3

，
∴△OAB為邊長是2

3

的等邊三角形，
∴S_△OAB=

1

2

×2

3

×2

3

×sin60°=3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的性質(zhì)，考查球內(nèi)接多面體的應(yīng)用，“補(bǔ)形”是關(guān)鍵，考查分析、轉(zhuǎn)化與運(yùn)算能力，屬于中檔題．