Question

已知函數(shù)f（x）=a^x+x²-xlna（a＞1）．
（Ⅰ）試討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若函數(shù)y=|f（x）-t|-1有三個(gè)零點(diǎn)，試求t的值；
（Ⅲ）若存在x₁，x₂∈[-1，1]，使得|f（x₁）-f（x₂）|≥e-1，試求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則dcf^′（x）=2x+（a^x-1）lna，由于a＞1，而a^x在R上單調(diào)遞增，只要分x＞0和x＜0討論即可；
（II）當(dāng)a＞1時(shí)，由（Ⅰ）可知：f（x）在x=0處取得最小值，又函數(shù)y=|f（x）-t|-1有三個(gè)零點(diǎn)?方程f（x）=t±1有三個(gè)根，而t+1＞t-1，必須t-1=（f（x））_min=f（0）=1，解出即可．
（III）因?yàn)榇嬖趚₁，x₂∈[-1，1]，使得|f（x₁）-f（x₂）|≥e-1．可知當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，得|（f（x））_max-（f（x））_min|=（f（x））_max-（f（x））_min≥e-1．
又由（Ⅰ）知：f（x）在[-1，0]上單調(diào)遞減，在[0，1]上單調(diào)遞增，故當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，（f（x））_min=f（0）=1，（f（x））_max=max{f（-1），f（1）}，再作差利用導(dǎo)數(shù)比較f（1）與f（-1）大小即可．
解答：解：（Ⅰ）f'（x）=a^xlna+2x-lna=2x+（a^x-1）lna．
∵f'（0）=0，且a＞1．
當(dāng)x＞0時(shí)，lna＞0，a^x-1＞0⇒f'（x）＞0，
故函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)x＜0時(shí)，lna＞0，a^x-1＜0⇒f'（x）＜0．
故函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減．
（Ⅱ）當(dāng)a＞1時(shí)，由（Ⅰ）可知：f（x）在x=0處取得最小值，又函數(shù)y=|f（x）-t|-1有三個(gè)零點(diǎn)，所以方程f（x）=t±1有三個(gè)根，
而t+1＞t-1，所以t-1=（f（x））_min=f（0）=1，由此可解得：t=2．
（Ⅲ）因?yàn)榇嬖趚₁，x₂∈[-1，1]，使得|f（x₁）-f（x₂）|≥e-1，
因此當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，有：|（f（x））_max-（f（x））_min|=（f（x））_max-（f（x））_min≥e-1．
又由（Ⅰ）知：f（x）在[-1，0]上單調(diào)遞減，在[0，1]上單調(diào)遞增，
故當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，（f（x））_min=f（0）=1，（f（x））_max=max{f（-1），f（1）}，
而．
記，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124235343243730/SYS201310251242353432437020_DA/2.png">（當(dāng)t=1時(shí)取等號）
因此在t∈[1，+∞）上單調(diào)遞增，而g（1）=0，故當(dāng)t＞1時(shí)，g（t）＞0；即當(dāng)a＞1時(shí)，f（1）＞f（-1）
由f（1）-f（0）≥e-1⇒a-lna≥e-1⇒a≥e，綜上所述，所求a的取值范圍為[e，+∞）．
點(diǎn)評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、等價(jià)轉(zhuǎn)化方法、不等式的證明等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)形結(jié)合思想和導(dǎo)數(shù)作為解決問題的工具的靈活運(yùn)用，著重突出了分析問題、解決問題的能力和創(chuàng)新意識，是一道具有很好區(qū)分度的綜合題目．