Question

（2012•東城區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）=（sin2x+cos2x）²-2sin²2x．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若函數(shù)y=g（x）的圖象是由y=f（x）的圖象向右平移

π

8

個單位長度得到的，當x∈[0，

π

4

]時，求y=g（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）將函數(shù)解析式第一項利用完全平方公式展開，再利用二倍角的正弦函數(shù)公式及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡，第二項利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，整理后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的正弦函數(shù)，找出ω的值，代入周期公式即可求出函數(shù)的最小正周期；
（Ⅱ）由第一問確定的f（x）解析式，根據(jù)平移規(guī)律“左加右減”表示出g（x），利用x的范圍求出這個角的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求出g（x）的最大值與最小值．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=（sin2x+cos2x）²-2sin²2x
=sin²2x+2sin2xcos2x+cos²2x-（1-cos4x）
=1+sin4x-1+cos4x=sin4x+cos4x=

2

sin（4x+

π

4

），
∴函數(shù)f（x）的最小正周期為

2π

4

=

π

2

；
（Ⅱ）依題意，y=g（x）=

2

sin[4（x-

π

8

）+

π

4

]=

2

sin（4x-

π

4

），
∵0≤x≤

π

4

，∴-

π

4

≤4x-

π

4

≤

3π

4

，
當4x-

π

4

=

π

2

，即x=

3π

16

時，g（x）取最大值

2

；
當4x-

π

4

=-

π

4

，即x=0時，g（x）取最小值-1．

點評：此題考查了二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，平移規(guī)律，以及正弦函數(shù)的定義域與值域，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．