Question

2．用定積分的幾何意義說明下列等式：
（1）${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$cosθdθ=2${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$cosθdθ；
（2）${∫}_{π}^{π}$sinxdx=0．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)余弦函數(shù)的對性得出${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$cosθdθ的幾何意義是 余弦函數(shù)圖象與直線x=$\frac{π}{2}$，x=$-\frac{π}{2}$，x軸，圍成圖形的面積，${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$cosθdθ的幾何意義是 余弦函數(shù)圖象與直線x=$\frac{π}{2}$，x=0，x軸，圍成的圖形的面積，可以得出積分的關(guān)系．
（2）根據(jù)正弦函數(shù)成中心對稱，∫${\;}_{0}^{π}$sinxdx的幾何意義是 正弦函數(shù)圖象與直線x=π，x=0，x軸，圍成的圖形的面積，∫${\;}_{-π}^{0}$sinxdx的幾何意義是 正弦函數(shù)圖象與直線x=-π，x=0，x軸，圍成的圖形的面積的相反數(shù)，可以解釋${∫}_{π}^{π}$sinxdx=0的幾何意義．

解答 解：（1）${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$cosθdθ的幾何意義是 余弦函數(shù)圖象與直線x=$\frac{π}{2}$，x=$-\frac{π}{2}$，x軸，圍成圖形的面積，
${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$cosθdθ的幾何意義是 余弦函數(shù)圖象與直線x=$\frac{π}{2}$，x=0，x軸，圍成的圖形的面積，
根據(jù)函數(shù)的對稱性得出，這兩個面積成2倍關(guān)系，
∴${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$cosθdθ=2${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$cosθdθ成立．
（2）${∫}_{π}^{π}$sinxdx=0．=0．
∵∫${\;}_{0}^{π}$sinxdx的幾何意義是 正弦函數(shù)圖象與直線x=π，x=0，x軸，圍成的圖形的面積，
∵∫${\;}_{-π}^{0}$sinxdx的幾何意義是 正弦函數(shù)圖象與直線x=-π，x=0，x軸，圍成的圖形的面積的相反數(shù)，
∴${∫}_{π}^{π}$sinxdx=∫${\;}_{-π}^{0}$sinxdx+∫${\;}_{0}^{π}$sinxdx=0

點評 本小題主要考查定積分、定積分的幾何意義，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，等基礎(chǔ)知識，考查考查數(shù)形結(jié)合思想．屬于基礎(chǔ)題．