證明:(1)因為 f′(x)=a-
所以 f′(3)=a-
=
,b=2…(2分)
又 g(x)=f(x+1)=ax+
,
設(shè)g(x)圖象上任意一點P(x
0,y
0)因為 g′(x)=a-
,
所以切線方程為y-(ax
0+
)=(a-
)(x-x
0)…(4分)
令x=0 得y=
; 再令y=ax得 x=2x
0,
故三角形面積S=
|
||2x
0|=4,
即三角形面積為定值.…(6分)
解:(2)由f(3)=3得a=1,f(x)=x+
-1假設(shè)存在m,k滿足題意,
則有x-1+
+m-x-1+
=k
化簡,得
對定義域內(nèi)任意x都成立,…(8分)
故只有
解得
所以存在實數(shù)m=2,k=0使得f(x)+f(m-k)=k對定義域內(nèi)的任意都成立.…(11分)
(3)由題意知,x-1+
=t(x
2-2x+3)|x|
因為x≠0,且x≠1
化簡,得 t=
…(13分)
即
=|x|(x-1)…(15分)
如圖可知,-
<
<0
所以t<-4即為t的取值范圍.…(16分)
分析:(1)先求導數(shù):f′(x)=a-
利用導數(shù)的幾何意義求出切線方程,令x=0 得y=
; 再令y=ax得 x=2x
0,從而證得三角形面積為定值;
(2)對于存在性問題,可先假設(shè)存在,即假設(shè)存在m,k滿足題意,再利用
對定義域內(nèi)任意x都成立,求出m,k,若出現(xiàn)矛盾,則說明假設(shè)不成立,即不存在;否則存在.
(3)由題意知,x-1+
=t(x
2-2x+3)|x|,分離出t:t=
,畫出此函數(shù)的圖象,由圖可知t的取值范圍.
點評:本小題主要考查利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程、利用導數(shù)研究函數(shù)的極值、不等式的解法等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.屬于基礎(chǔ)題.