Question

在△ABC中，AB=2，BC=4，∠B=60°，設(shè)O是△ABC的內(nèi)心，若，則=    ．

Answer 1

【答案】分析：由余弦定理算出AC長(zhǎng)，從而得到△ABC為以BC為斜邊的直角三角形，得內(nèi)切圓半徑r=+1．設(shè)圓O與AB、AC的切點(diǎn)分別為E、F，連接OE、OF，則OEAF是正方形，所以=+，根據(jù)AB、AC的長(zhǎng)度與AE、AF長(zhǎng)度之間的關(guān)系可得用、的線性表示式，即可得到所求p、q的比值．
解答：解：如圖，根據(jù)余弦定理得：AC²=AB²+BC²-2AB•BCcos60°=12
∴AB²+AC²=16=BC²，得△ABC為以BC為斜邊的直角三角形
由此可得△ABC的內(nèi)內(nèi)切圓半徑r=（AB+AC-BC）=+1
設(shè)圓O與AB、AC的切點(diǎn)分別為E、F，連接OE、OF，
則四邊形OEAF是正方形
∵=，==，=+
∴
∵已知
∴p=，q=，可得==
故答案為：
點(diǎn)評(píng)：本題給出三角形，求向量線性表示式，著重考查了余弦定理、直角三角形內(nèi)切圓公式和平面向量基本定理等知識(shí)，屬于中檔題．