Question

三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱AA₁⊥底面ABC，AC⊥BC，AC=3，BC=4，AA₁=4，
（1）求異面直線AB與B₁C所成角的余弦值；
（2）求證：面ACB₁⊥面ABC₁．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接A₁C，∵A₁B₁∥AB，∴∠A₁B₁C即為AB與B₁C所成角或其補角，在△A₁B₁C中，利用余弦定理即可求得答案，注意異面角的范圍；
（2）分別以，，的方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系，求出平面ACB₁，平面ABC₁的法向量，只需證明兩法向量垂直即可；
解答：（1）解：連接A₁C，∵A₁B₁∥AB，∴∠A₁B₁C即為AB與B₁C所成角或其補角，
在Rt△CBB₁中，CB₁===4，在Rt△A₁AC中，==5，
在Rt△ACB中，AB==5，
在△A₁B₁C中，由余弦定理得，cos∠A₁B₁C===，
故異面直線AB與B₁C所成角的余弦值為．
（2）證明：分別以，，的方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系，
則C（0，0，0），C₁（0，0，0），A（3，0，0），B（0，4，0），B₁（0，4，4），
=（0，4，4），=（3，0，0），=（-3，0，4），=（-3，4，0），
設(shè)=（x，y，z）為平面ACB₁的一個法向量，則，即，取=（0，1，-1），
設(shè)=（x，y，z）為平面ABC₁的一個法向量，則，即，取=（4，3，3），
因為•=（0，1，-1）•（4，3，3）=0×4+1×3+（-1）×3=0，
所以，
故面ACB₁⊥面ABC₁．
點評：本題考查異面角的求解及面面垂直的判定問題，熟練掌握相關(guān)的常用方法是解決問題的基礎(chǔ)，屬中檔題．