設(shè)函數(shù)y=f（x）=
1-x2
+a（
1-x
+
1+x
），a∈R
（Ⅰ）設(shè)t=
1-x
+
1+x
，把y表示成t的函數(shù)，并求出t的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)f（x）的最小值為g（a），求g（a）的解析式，并求g（a）的值域．
（I）由t=
1-x
+
1+x
兩邊同時平方可得，t2=1-x+1+x+2
1-x2
=2+2
1-x2

∴
1-x2
=
t2-2
2

∵f（x）=
1-x2
+a（
1-x
+
1+x
）
=
t2-2
2
+at=
1
2
t2+at-1
∵0≤1-x2≤1
∴2≤t2≤4且t＞0
∴
2
≤t≤4
∴y=f（t）=
1
2
t2+at-1，t∈[
2
，2]
（II）∵y=f（t）=
1
2
t2+at-1，t∈[
2
，2]
=
1
2
(t2+2at+a2)-1-
1
2
a2=
1
2
(t+a)2-1-
1
2
a2
①當(dāng)-a≥2即a≤-2時，函數(shù)f（t）在[
2
，2]單調(diào)遞減，g（a）=f（2）=2a+1≤-3
②當(dāng)-a≤
2
即a≥-
2
時，函數(shù)f（t）在[
2
，2]單調(diào)遞增，g（a）=f（
2
）=
2
a≥-2
③當(dāng)
2
＜-a＜2即-2＜a＜-
2
時，g（a）=f（-a）=-1-
1
2
a2∈（-3，-2）
根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)可知，分段函數(shù)的值域是各段函數(shù)值域的并集
∴g（a）的值域為R
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

13、設(shè)函數(shù)y=f（x）存在反函數(shù)y=f-1（x），且函數(shù)y=x-f（x）的圖象過點（1，2），則函數(shù)y=f-1（x）-x的圖象一定過點
（-1，2）
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)y=f（x）是定義在R+上的函數(shù)，并且滿足下面三個條件：①對任意正數(shù)x，y 都有f（xy）=f（x）+f（y）；②當(dāng)x＞1時，f（x）＜0；③f（3）=-1．
（1）求f（1），f（
19
）的值；
（2）證明：f（x）在R+上是減函數(shù)；
（3）如果不等式分f（x）+f（2-x）＜2成立，求x的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)是y=f′（x），稱εyx=f′(x)•
x
y
為函數(shù)f（x）的彈性函數(shù)．
函數(shù)f（x）=2e3x彈性函數(shù)為
3x
3x
；若函數(shù)f1（x）與f2（x）的彈性函數(shù)分別為εf 1x與εf 2x，則y=f1（x）+f2（x）（f1（x）+f2（x）≠0）的彈性函數(shù)為
 f1(x)ef1x+f2(x)ef2x  
f1(x)+f2(x)
 f1(x)ef1x+f2(x)ef2x  
f1(x)+f2(x)
．
（用εf 1x，εf 2x，f1（x）與f2（x）表示）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)y=f（x）在（-∞，+∞）內(nèi)有定義，對于給定的正數(shù)K，定義函數(shù)fK（x）=
f(x)，f(x)≤k
k，f(x)＞k
，取函數(shù)f（x）=2-x-e-x，若對任意的x∈（-∞，+∞），恒有fK（x）=f（x），則K的最小值為
1
1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)y=f（x）在（-∞，+∞）內(nèi)有定義．對于給定的正數(shù)K，定義函數(shù)fk（x）=
f(x)，f(x)≥K
K，f(x)＜K
，取函數(shù)f（x）=2+x+e-x．若對任意的x∈（+∞，-∞），恒有fk（x）=f（x），則（　�。�

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