Question

設(shè)f（x）=e^x（ax²+x+1）．
（I）若a＞0，討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）x=1時(shí)，f（x）有極值，證明：當(dāng)θ∈[0，

π

2

]時(shí)，|f（cosθ）-f（sinθ）|＜2．

Answer 1

（I）f^′（x）=e^x（ax²+x+1）+e^x（2ax+1）=e^x[ax²+（2a+1）x+2]=aex(x+

1

a

)(x+2)．
（i）當(dāng)a=

1

2

時(shí)，f′(x)=

1

2

ex(x+2)2≥0恒成立，∴函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增．
（ii）當(dāng)0＜a＜

1

2

時(shí)，則

1

a

＞2，即-

1

a

＜-2．
由f^′（x）＞0，解得x＞-2或x＜-

1

a

；當(dāng)f^′（x）＜0時(shí)，解得-

1

a

＜x＜-2．
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間(-∞，-

1

a

)和（-2，+∞）上單調(diào)遞增；在(-

1

a

，-2)上單調(diào)遞減．
（iii）當(dāng)a＞

1

2

時(shí)，則

1

a

＜2，即-

1

a

＞-2．
由f^′（x）＞0，解得x＞-

1

a

或x＜-2；由f^′（x）＜0，解得-2＜x＜-

1

a

．
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，-2）和（-

1

a

，+∞）上單調(diào)遞增；在(-2，-

1

a

)上單調(diào)遞減．
（II）∵當(dāng)x=1時(shí)，f（x）有極值，∴f^′（1）=0．∴3ae(1+

1

a

)=0，解得a=-1．
∴f（x）=e^x（-x²+x+1），f^′（x）=-e^x（x-1）（x+2）．
令f^′（x）＞0，解得-2＜x＜1，∴f（x）在[-2，1]上單調(diào)遞增，
∵sinθ，cosθ∈[0，1]，∴|f（sinθ）-f（cosθ）|≤f（1）-f（0）=e-1＜2．