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若
e1
，
e2
是夾角為60°的兩個向量，且|
e1
|=2，|
e2
|=1，
a
=2
e1
+
e2
；
b
=-3
e1
+λ
e2
．
（1）λ=2，求向量
a
，
b
夾角．
（2）若
a
⊥
b
，求實數λ的值．
考點：平面向量數量積的運算
專題：計算題
分析：（1）利用向量夾角公式求出cosθ=
a
•
b
|
a
||
b
|
，再利用特殊角的三角函數值確定夾角．
（2）
a
⊥
b
等價于
a
•
b
=0，根據向量數量積的運算得出關于λ的方程并求解即可．
解答： 解：（1）λ=2時，
a
2=（2
e1
+
e2
）2=4
e1
2+
e2
2+4
e1
•
e2
=4×4+1+4×2×1×cos60°=21，|
a
|=
21
；
b
=-3
e1
+2
e2
，
b
2=（-3
e1
+2
e2
）2=9
e1
2+4
e2
2-12
e1
•
e2
=9×4+4-12×2×cos60°=28，|
b
|=2
7
；
a
•
b
=（2
e1
+
e2
）•（-3
e1
+2
e2
）=-6
e1
2+2
e2
2+
e1
•
e2
=-21；
向量
a
與
b
的夾角的夾角θ的余弦值為cosθ=
a
•
b
|
a
||
b
|
=-
3
2
，
向量a與b的夾角為
5
6
π；
（2）
a
⊥
b
等價于
a
•
b
=0，即（2
e1
+
e2
）•（-3
e1
+λ
e2
）=-6
e1
2+λ
e2
2+（2λ-3）
e1
•
e2
=0，
得-6×4+λ+（2λ-3）=0，解得λ=9．
點評：本題考查了向量的基本運算，包括運算法則，夾角，位置關系．屬于基礎題．
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a
=
b
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AE
+
AF
）•
BD
=
 
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2-x
x+1
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