Question

3．已知點A（0，-2），橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，F(xiàn)是橢圓的右焦點，直線AF的斜率為$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，O為坐標原點．
（ I）求橢圓C的方程；
（ II）設過點A的動直線l與C交于P、Q兩點，當$|{PQ}|=\frac{{4\sqrt{2}}}{5}$時，求l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設出F（c，0），由AF的斜率為$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$求得c，再由橢圓的離心率求得a，結合隱含條件求得b，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）由題意可知，當直線l⊥x軸時不符合題意．當直線l的斜率存在時，設直線l：y=kx-2，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，化為關于x的一元二次方程，然后利用弦長公式求解得k，則直線l的方程可求．

解答 解：（Ⅰ）設F（c，0），由條件知，$\frac{2}{c}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，$c=\sqrt{3}$，又$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，∴a=2，
則b²=a²-c²=1，
∴C的方程$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$；
（Ⅱ）當直線l⊥x軸時不符合題意；
當直線l斜率存在時，設直線l：y=kx-2，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-2}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+4k²）x²-16kx+12=0．
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{16k}{1+4{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{12}{1+4{k}^{2}}$，
∴|PQ|=$\sqrt{{k^2}+1}|{{x_1}-{x_2}}|$=$\frac{{4\sqrt{{k^2}+1}•\sqrt{4{k^2}-3}}}{{4{k^2}+1}}$，
又$|{PQ}|=\frac{{4\sqrt{2}}}{5}$，得$\frac{4\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{4{k}^{2}-3}}{4{k}^{2}+1}=\frac{4\sqrt{2}}{5}$，解答：k=±1，
∴直線l的方程為y=x-2或y=-x-2．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查了直線與橢圓位置關系的應用，訓練了弦長公式的應用，是中檔題．