Question

已知橢圓C的中心在原點，對稱軸為坐標軸，且過（0，1），（1，）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）直線l：3x-3y-1=0交橢圓C與A、B兩點，若T（0，1）求證：．

Answer 1

（Ⅰ）解：設橢圓C的方程為mx²+ny²=1（m＞0．n＞0）
由橢圓C過點過（0，1），（1，）得：，解得
∴橢圓C的方程為
（Ⅱ）證明：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由消去y整理得27x²-12x-16=0，
由韋達定理得
由兩邊平方整理可得，故只需證明
=x₁x₂+（y₁-1）（y₂-1）=x₁x₂+y₁y₂+（y₁+y₂）+1
而
∴=
故恒成立
分析：（Ⅰ）設出橢圓C的方程，利用橢圓C過點過（0，1），（1，），建立方程組，即可求得橢圓C的方程；
（Ⅱ）由兩邊平方整理可得，故只需證明，將直線與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理，及向量的數(shù)量積即可得到結論．
點評：本題考查待定系數(shù)法求橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理的運用，解題的關鍵是聯(lián)立方程，正確運用韋達定理．