Question

已知F₁，F₂分別是橢圓C₁：

x2

a2

+y²=1（a＞1）的左、右焦點，O為坐標原點．
（Ⅰ）若橢圓C₁與雙曲線C₂：

y2

3

-

x2

1

=1的離心率互為倒數，求此時實數a的值；
（Ⅱ）若直線l經過點F₁和點（0，1），且原點到直線l的距離為

2

2

；又另一條直線m，斜率為1，與橢圓C₁交于E，F兩點，

OE

⊥

OF

，求直線m的方程；
（Ⅲ）若在直線x=

a2

a2-1

上存在點P，使線段PF₁的中點M

MF2

⊥

PF1

．求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：圓錐曲線的綜合,直線與圓錐曲線的關系

專題：計算題,平面向量及應用,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）求出雙曲線的離心率，可得橢圓的離心率，再由離心率公式，可得a=2；
（Ⅱ）設F₁（-c，0），直線l的方程為x-cy+c=0，由點到直線的距離公式，可得c，進而得到橢圓方程，設直線m：y=x+d，代入橢圓方程，應用韋達定理，及向量垂直的條件，即可得到d，進而得到直線方程；
（Ⅲ）設F₁（-c，0），F₂（c，0），P（

a2

c

，t），求出向量的坐標，再由

MF2

⊥

PF1

，運用數量積為0，再由

t2

2

≥0，解不等式即可得到a的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）雙曲線C₂：

y2

3

-

x2

1

=1的離心率為e₂=

3+1

3

=

2

3

，
則橢圓C₁：

x2

a2

+y²=1（a＞1）的離心率e₁=

1

e2

=

3

2

，
即有

a2-1

a

=

3

2

，解得，a=2；
（Ⅱ）設F₁（-c，0），直線l的方程為x-cy+c=0，
則d=

|c|

1+c2

=

2

2

，則c=1，a²=b²+c²=2，
則橢圓方程為

x2

2

+y²=1，
設直線m：y=x+d，代入橢圓方程，消去y，得，3x²+4dx+2d²-2=0，
由直線m與橢圓交于E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
則△=16d²-12（2d²-2）＞0，解得d²＜3，
又x₁+x₂=-

4d

3

，x₁x₂=

2d2-2

3

，
由于OE⊥OF，則x₁x₂+y₁y₂=0，即x₁x₂+（x₁+d）（x₂+d）=0，
即

4d2-4

3

-

4d2

3

+d²=0，解得，d²=

4

3

＜3，即有d=±

2 3

3

，
則直線m的方程為y=x±

2 3

3

；
（Ⅲ）設F₁（-c，0），F₂（c，0），
P（

a2

c

，t），

F1P

=（

a2

c

+c，t），中點M（

a2-c2

2c

，

t

2

），

F2M

=（

a2-c2

2c

-c，

t

2

）=（

a2-3c2

2c

，

t

2

），
由于

MF2

⊥

PF1

，則

a2+c2

c

×

a2-3c2

2c

+

t2

2

=0，
則

t2

2

=

(a2+c2)(a2-3c2)

2c2

=

(2a2-1)(2a2-3)

2(a2-1)

≥0，
由于a＞1，則（2a²-1）（2a²-3）≥0，
即有a²≥

3

2

，解得，a≥

6

2

．

點評：本題考查橢圓和雙曲線的方程和性質，考查直線方程和橢圓方程聯立．消去未知數，應用韋達定理，考查平面向量的垂直的條件，考查化簡運算能力，屬于中檔題．