Question

設(shè)圓C與兩圓(x＋)2＋y2＝4，(x－)2＋y2＝4中的一個(gè)內(nèi)切，另一個(gè)外切．

(1)求C的圓心軌跡L的方程；

(2)已知點(diǎn)M(，)，F(xiàn)(，0)，且P為L(zhǎng)上動(dòng)點(diǎn)，求||MP|－|FP||的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

 

Answer 1

（1）－y2＝1

（2）(，－)

【解析】(1)依題意得兩圓的圓心分別為F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)，從而可得|CF1|＋2＝|CF2|－2或|CF2|＋2＝|CF1|－2，

所以||CF2|－|CF1||＝4＝2a<|F1F2|＝2＝2c，

所以圓心C的軌跡是以原點(diǎn)為中心，焦點(diǎn)在x軸上，且實(shí)軸長(zhǎng)為4，焦距為2的雙曲線，

因此a＝2，c＝，b2＝c2－a2＝1，

故C的圓心軌跡L的方程為－y2＝1．

(2)過點(diǎn)M，F(xiàn)的直線l的方程為y＝－2(x－)，將其代入－y2＝1中，解得x1＝，x2＝，故直線l與L的交點(diǎn)為T1(，－)，T2(，)，

因?yàn)門1在線段MF外，T2在線段MF上，

所以||MT1|－|FT1||＝|MF|＝2，||MT2|－|FT2||<|MF|＝2．

若點(diǎn)P不在MF上，則||MP|－|FP||<|MF|＝2．

綜上所述，||MP|－|FP||只在點(diǎn)T1處取得最大值，

即||MP|－|FP||的最大值為2，

此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，－)．