Question

20．如圖，在幾何體P-ABCD中，平面ABCD⊥平面PAB，四邊形ABCD為矩形，△PAB為正三角形，若AB=2，AD=1，E，F(xiàn) 分別為AC，BP中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證EF∥平面PCD；
（Ⅱ）求直線DP與平面ABCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （I）連結(jié)BD，則E為BD的中點(diǎn)，利用中位線定理得出EF∥PD，故而EF∥面PCD；
（II）取AB中點(diǎn)O，連接PO，DO，得出PO⊥平面ABCD，于是，∠PDO為DP與平面ABCD所成角，求出OP，DP，得直線DP與平面ABCD所成角的正弦值．

解答 （Ⅰ）證明：因?yàn)镋為AC中點(diǎn)，所以DB與AC交于點(diǎn)E．
因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AC，BP中點(diǎn)，所以EF是△BDP的中位線，
所以EF∥DP．
又DP?平面PCD，EF?平面PCD，
所以EF∥平面PCD．
（Ⅱ）解：取AB中點(diǎn)O，連接PO，DO．
∵△PAB為正三角形，∴PO⊥AB，
又∵平面ABCD⊥平面PAB
∴PO⊥平面ABCD，∴DP在平面ABCD內(nèi)的射影為DO，∠PDO為DP與平面ABCD所成角，
OP=$\sqrt{3}$，DP=$\sqrt{5}$，在Rt△DOP中，sin∠PDO=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，
∴直線DP與平面ABCD所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面平行的判定，線面角的計(jì)算，作出線面角并證明是解題關(guān)鍵，屬于中檔題．