Question

已知數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，且a₁=2，S₃=12．
（Ⅰ）求a_n；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_nxⁿ}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)公差為d，則a₁+（a₁+d）+（a₁+2d）=12且a₁=2，解方程即可得公差d，再由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式
（Ⅱ）數(shù)列{a_nxⁿ}是由一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的積構(gòu)成的，求和適用錯(cuò)位相減法，當(dāng)x=1時(shí)，即為等差數(shù)列求和，當(dāng)x≠1時(shí)，將和式兩邊乘以公比x，再錯(cuò)位相減，即可得數(shù)列{a_nxⁿ}的前n項(xiàng)和T_n

解答：解：（Ⅰ）設(shè)公差為d，則a₁+（a₁+d）+（a₁+2d）=12且a₁=2，所以d=2，
∴a_n=2n
（Ⅱ）T_n=2x+4x²+…（2n-2）x^n-1+2nxⁿ…①
xT_n=2x²+4x³+…+（2n-2）xⁿ+2nxⁿ⁺¹…②
當(dāng)x≠1時(shí)：①-②得 (1-x)Tn=2(x+x2+…xn)-2nxn+1=

2x(1-xn)

1-x

-2nxn+1
Tn=

2x(1-xn)

(1-x)2

-

2nxn+1

1-x

當(dāng)x=1時(shí)，S_n=n（n+1）綜上
Tn=

n(n+1)；x=1 2x(1-xn) (1-x)2 - 2nxn+1 1-x ；x≠1

點(diǎn)評(píng)：本題考察了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和性質(zhì)，考察了數(shù)列求和的方法--錯(cuò)位相減法，解題時(shí)要學(xué)會(huì)辨別數(shù)列類型，確定求和方法，認(rèn)真運(yùn)算，避免出錯(cuò)