【題目】如圖,四棱臺中,底面
是菱形,
底面
,且
,
,
是棱
的中點(diǎn).
(1)求證:;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)詳見解析;(2).
【解析】
(1)推導(dǎo)出⊥BD.BD⊥AC.從而BD⊥平面AC
,由此能證明
.
(2)如圖,設(shè)AC交BD于點(diǎn)O,以O(shè)為原點(diǎn),OA、OB、OA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.利用向量法能求出二面角E﹣﹣C的余弦值.
證明:(1)因為⊥底面ABCD,所以
⊥BD.
因為底面ABCD是菱形,所以BD⊥AC.
又AC∩CC1=C,所以BD⊥平面A.
又由四棱臺ABCD﹣知,
,A,C,
四點(diǎn)共面.
所以BD⊥.
(2)如圖,設(shè)AC交BD于點(diǎn)O,依題意,∥OC且
=OC,
所以O∥C
,且
O=C
.所以
O⊥底面ABCD.
以O(shè)為原點(diǎn),OA、OB、OA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.
則,
由,得B1(
).
因為E是棱BB1的中點(diǎn),所以E(),所以
(
),
(﹣2
,0,0).
設(shè)(x,y,z)為平面
的法向量,
則,取z=3,得
(0,4,3),
平面的法向量
(0,1,0),
又由圖可知,二面角E﹣A1C1﹣C為銳二面角,
設(shè)二面角E﹣A1C1﹣C的平面角為θ,
則cosθ,
所以二面角E﹣A1C1﹣C的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已兩動圓和
,把它們的公共點(diǎn)的軌跡記為曲線
,若曲線
與
軸的正半軸交點(diǎn)為
,且曲線
上異于點(diǎn)
的相異兩點(diǎn)
、
滿足
.
(1)求曲線的方程;
(2)證明直線恒經(jīng)過一定點(diǎn),并求出此定點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)為圓
:
上一動點(diǎn),過點(diǎn)
分別作
軸,
軸的垂線,垂足分別為
,
,連接
延長至點(diǎn)
,使得
,點(diǎn)
的軌跡記為曲線
.
(1)求曲線的方程;
(2)若點(diǎn),
分別位于
軸與
軸的正半軸上,直線
與曲線
相交于
,
兩點(diǎn),試問在曲線
上是否存在點(diǎn)
,使得四邊形
為平行四邊形,若存在,求出直線
方程;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)曲線所圍成的封閉區(qū)域為D.
(1)求區(qū)域D的面積;
(2)設(shè)過點(diǎn)的直線與曲線C交于兩點(diǎn)P、Q,求
的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知梯形中,
,
,
,
,
是
上的點(diǎn),
是
的中點(diǎn),沿
將梯形
折起,使平面
平面
.
(1)當(dāng)時,求證:
;
(2)記以為頂點(diǎn)的三棱錐的體積為
,求
的最大值;
(3)當(dāng)取得最大值時,求二面角
的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知動圓過定點(diǎn)
,并且內(nèi)切于定圓
.
(1)求動圓圓心的軌跡方程;
(2)若上存在兩個點(diǎn)
,
,(1)中曲線上有兩個點(diǎn)
,
,并且
,
,
三點(diǎn)共線,
,
,
三點(diǎn)共線,
,求四邊形
的面積的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列說法中正確的是( )
A. “”是“
”成立的充分不必要條件
B. 命題,則
C. 為了了解800名學(xué)生對學(xué)校某項教改試驗的意見,用系統(tǒng)抽樣的方法從中抽取一個容量為40的樣本,則分組的組距為40
D. 已知回歸直線的斜率的估計值為1.23,樣本點(diǎn)的中心為,則回歸直線方程為
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面坐標(biāo)系中,曲線
的參數(shù)方程為
(
為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)
為極點(diǎn),
軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系并取相同的單位長度,曲線
的極坐標(biāo)方程為
.
(1)把曲線的方程化為普通方程,
的方程化為直角坐標(biāo)方程
(2)若曲線,
相交于
兩點(diǎn),
的中點(diǎn)為
,過
點(diǎn)作曲線
的垂線交曲線
于
兩點(diǎn),求
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某開發(fā)商用9000萬元在市區(qū)購買一塊土地建一幢寫字樓,規(guī)劃要求寫字樓每層建筑面積為2000平方米.已知該寫字樓第一層的建筑費(fèi)用為每平方米4000元,從第二層開始,每一層的建筑費(fèi)用比其下面一層每平方米增加100元.
(1)若該寫字樓共x層,總開發(fā)費(fèi)用為y萬元,求函數(shù)y=f(x)的表達(dá)式;(總開發(fā)費(fèi)用=總建筑費(fèi)用+購地費(fèi)用)
(2)要使整幢寫字樓每平方米的平均開發(fā)費(fèi)用最低,該寫字樓應(yīng)建為多少層?
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