Question

已知函數(shù)f（x）=x²，g(x)=

1

2

λf′(x)+sinx，且函數(shù)g（x）在[-1，1]上單調(diào)遞減．
（1）若g（x）≤λ+3sin1在x∈[-1，1]上恒成立，求λ的取值范圍；
（2）若關于x的方程lnf（1+x）=2x-m在區(qū)間 [

1

e

-1，e-1]上有兩個根（e為自然對數(shù)的底數(shù)），試求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出函數(shù)的導數(shù)，推出g（x），通過g（x）≤λ+3sin1在x∈[-1，1]上恒成立，轉(zhuǎn)化為λ≥-2sin1，求λ的取值范圍；
（2）若關于x的方程lnf（1+x）=2x-m在區(qū)間 [

1

e

-1，e-1]上有兩個根（e為自然對數(shù)的底數(shù)），轉(zhuǎn)化為函數(shù)h（x）的圖象與x軸交點個數(shù)，通過導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出最大值，得到方程有兩個根的條件，求出m的取值范圍．

解答：解：（1）由題意得g（x）=λx+sinx，所以g'（x）=λ+cosx，
因g（x）在[-1，1]上單調(diào)遞減，所以g'（x）≤0在[-1，1]上恒成立，
即λ≤-cosx在[-1，1]上恒成立，得λ≤-1．（3分）
因g（x）在[-1，1]上單調(diào)遞減，所以[g（x）]_max=g（-1）=-λ-sin1，
又g（x）≤λ+3sin1在x∈[-1，1]上恒成立，故只需-λ-sin1≤λ+3sin1恒成立
所以λ≥-2sin1，又sin30°＜sin1，所以1＜2sin1，故-2sin1≤λ≤-1
（2）由（1）知f（1+x）=（1+x）²，所以方程為ln（1+x）²=2x-m，
設h（x）=ln（1+x）²-2x+m，則方程根的個數(shù)即為函數(shù)h（x）的圖象與x軸交點個數(shù)，
因h′(x)=

2

1+x

-2=

-2x

1+x

，
當x∈（-1，0）時，h′（x）＞0，所以h（x）在（-1，0）上為增函數(shù)，
當x∈（-∞，-1）∪（0，+∞）時，h′（x）＜0，
所以h（x）在（-∞，-1）和（0，+∞）上為減函數(shù)，
所以h（x）在[

1

e

-1，0)上為增函數(shù)，在（0，e-1]上為減函數(shù)，
故h（x）在[

1

e

-1，e-1]的最大值為h（0）=m，
又h(

1

e

-1)=m-

2

e

，h(e-1)=m+4-2e，2e-4＞

2

e

，方程有兩根滿足：

h( 1 e -1)≤0 h(0)＞0 h(e-1)≤0

，
得0＜m≤

2

e

，即當0＜m≤

2

e

時，原方程有兩解．

點評：本題是中檔題，考查函數(shù)導數(shù)在解決恒成立問題，以及方程的根的應用，注意轉(zhuǎn)化思想的應用，恒成立的應用，是難度較大的題目，�？碱}型．