已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的短軸長(zhǎng)為4,F(xiàn)1F2分別是橢圓C的左,右焦點(diǎn),直線(xiàn)y=x與橢圓C在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為A,△AF1F2的面積為2
6
,點(diǎn)P(x0,y0),是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)w.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若∠F1PF2為鈍角,求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x0的取值范圍;
(3)求
3
PF1+
2
PA的最小值.
(1)∵2b=4,∴b=2,①
由題意,設(shè)A(x,x)(x>0),則
x2
a2
+
x2
b2
=1
,②
△AF1F2的面積為2
6
,∴cx=2
6
③,
由①②③得:a=2
3
,橢圓C的方程為:
x2
12
+
y2
4
=1

(2)設(shè)p(x,y),則 F1(-2
2
,0),F(xiàn)2(2
2
,0),
且∠F1PF2是鈍角
?PF12+PF22<F1F22?(x+2
2
2+y2+(x-2
2
2+y2<32
?x2+y2<8?-
3
<x<
3

(3)橢圓
x2
12
+
y2
4
=1
與y=x(x>0)解得A(
3
,
3
),
自P作橢圓左準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn),垂足為H,∵
PF1
PH
=
c
a
=
2
3

左準(zhǔn)線(xiàn)方程:x=-3
2
,
3
PF1+
2
PA即為:
2
(PH+PA)
當(dāng)A,P,H三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí),其和最小,
|PA|+|PB|的最小值為|AB|,
因點(diǎn)A到左準(zhǔn)線(xiàn)的距離為:
3
+3
2

3
PF1+
2
PA的最小值
2
3
+3
2
)=6+
6
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的左右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,P是橢圓上的一點(diǎn),且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比數(shù)列,則橢圓的離心率的取值范圍為(  )
A.[
1
2
,
2
2
]
B.[
5
-1,
1
2
]
C.[
2
-1,
1
2
]
D.[
5
5
1
2
]

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

設(shè)橢圓
x2
4
+
y2
3
=1
的左右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,點(diǎn)P在橢圓上,若
PF1
PF2
=
5
2
,則|
PF1
|•|
PF2
|=( 。
A.2B.3C.
7
2
D.
9
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

已知F1,F(xiàn)2為橢圓x2+6y2=36的兩個(gè)焦點(diǎn),P為橢圓上一點(diǎn)且PF1⊥PF2,則△F1PF2的面積是( 。
A.36B.12C.6D.4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

橢圓焦點(diǎn)在x軸上,A為該橢圓右頂點(diǎn),P在橢圓上一點(diǎn),∠OPA=90°,則該橢圓的離心率e的范圍是( 。
A.[
1
2
,1)
B.(
2
2
,1)
C.[
1
2
6
3
D.(0,
2
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

如圖,F(xiàn)1、F2是橢圓C1
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的兩焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F2作AB⊥x軸交橢圓于A、B兩點(diǎn),若△F1AB為等腰直角三角形,且∠AF1B=90°,則橢圓的離心率是( 。
A.
2
-1
B.
2
2
C.3-2
2
D.2-
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:填空題

已知曲線(xiàn)C的方程是
x2
m
+y2=1(m∈R
,且m≠0),給出下面三個(gè)命題:
①若曲線(xiàn)C表示圓,則m=1;
②若曲線(xiàn)C表示橢圓,則m的值越大,橢圓的離心率越大;
③若曲線(xiàn)C表示雙曲線(xiàn),則m的值越大,雙曲線(xiàn)的離心率越;
其中正確的命題是______.(填寫(xiě)所有正確命題的序號(hào))

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:填空題

(文)橢圓具有這樣的光學(xué)性質(zhì):從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線(xiàn),經(jīng)橢圓反射后,反射光線(xiàn)經(jīng)過(guò)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn).今有一個(gè)水平放置的橢圓形臺(tái)球盤(pán),點(diǎn)A、B是它的焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a,焦距為2c,靜放在點(diǎn)A的小球(小球的半徑忽略不計(jì))從點(diǎn)A沿直線(xiàn)出發(fā),經(jīng)橢圓壁反射后第一次回到點(diǎn)A時(shí),小球經(jīng)過(guò)的路程是______.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:填空題

橢圓
x2
36
+
y2
27
=1
,過(guò)右焦點(diǎn)F作不垂直于x軸的弦交橢圓于A、B兩點(diǎn),AB的垂直平分線(xiàn)交x軸于N,則|NF|:|AB|等于______.

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