設(shè)A、B、C分別是復(fù)數(shù)Z0=ai,Z1=
1
2
+bi,Z2=1+ci(其中a,b,c都是實(shí)數(shù))對(duì)應(yīng)的不共線的三點(diǎn).
證明:曲線:Z=Z0cos4t+2Z1cos2tsin2t+Z2sin4t  (t∈R)與△ABC中平行于AC的中位線只有一個(gè)公共點(diǎn),并求出此點(diǎn).
證明:曲線方程為:z=aicos4t+(1+2bi)cos2tsin2t+(1+ci)sin4t
=(cos2tsin2t+sin4t)+i(acos4t+2bcos2tsin2t+csin4t)
所以x=cos2tsin2t+sin4t=sin2t(0≤x≤1)
y=acos4t+2bcos2tsin2t+csin4t=a(1-x)2+2b(1-x)x+cx2
即y=(a-2b+c)x2+2(b-a)x+a(0≤x≤1)①
若a-2b+c=0,則Z0、Z1、Z2三點(diǎn)共線,與已知矛盾,故a-2b+c≠0.
于是此曲線為對(duì)稱軸與x軸垂直的拋物線.
設(shè)AB中點(diǎn)M:
1
4
+
1
2
(a+b)i
,BC中點(diǎn)N:
3
4
+
1
2
(b+c)i

與AC平行的中位線經(jīng)過M(
1
4
,
1
2
(a+b))
及N(
3
4
,
1
2
(b+c))
兩點(diǎn),
其方程為4(a-c)x+4y-3a-2b+c=0(
1
4
≤x≤
3
4
),
令4(a-2b+c)x2+8(b-c)x+4a=4(c-a)x+3a+2b-c,
即4(a-2b+c)x2+4(2b-a-c)x+a-2b+c=0,
由a-2b+c=0,得4x2+4x+1=0,此方程在[
1
4
,
3
4
]
內(nèi)有唯一解x=
1
2
,
x=
1
2
代入①得y=
1
4
(a+2b+c)

所以,所求公共點(diǎn)坐標(biāo)為(
1
2
1
4
(a+2b+c)
練習(xí)冊(cè)系列答案
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3
3

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設(shè)a、b、c分別是函數(shù)f(x)=(
1
2
)x-log2x,g(x)=2x-log
1
2
x,h(x)=(
1
2
)x-log
1
2
x
的零點(diǎn),則a、b、c的大小關(guān)系為(  )
A、b<c<a
B、a<b<c
C、b<a<c
D、c<b<a

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+bi,Z2=1+ci(其中a,b,c都是實(shí)數(shù))對(duì)應(yīng)的不共線的三點(diǎn).
證明:曲線:Z=Z0cos4t+2Z1cos2tsin2t+Z2sin4t  (t∈R)與△ABC中平行于AC的中位線只有一個(gè)公共點(diǎn),并求出此點(diǎn).

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證明:曲線:Z=Zcos4t+2Z1cos2tsin2t+Z2sin4t  (t∈R)與△ABC中平行于AC的中位線只有一個(gè)公共點(diǎn),并求出此點(diǎn).

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