Question

已知函數(shù)f₁（x）=sinx+cosx，記f₂（x）=f′₁（x），f₃（x）=f′₂（x），…，f_n（x）=f′_n-1（x）（n∈N^*，n≥2），則f₁（

π

2

）+f₂（

π

2

）+…+f₂₀₁₄（

π

2

）的值是（　�。�

• A、-1
• B、0
• C、1
• D、2

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,三角函數(shù)的求值

分析：由函數(shù)f₁（x），求出f₂（x）、f₃（x）、f₄（x）、f₅（x），…，得出f_n（x）是以4為周期的函數(shù)，從而求出f₁（

π

2

）+f₂（

π

2

）+…+f₂₀₁₄（

π

2

）的值．

解答： 解：∵函數(shù)f₁（x）=sinx+cosx，
∴f₂（x）=f1′（x）=cosx-sinx；
∴f₃（x）=f2′（x）=-sinx-cosx，f₄（x）=f3′（x）=-cosx+sinx；
f₅（x）=f4′（x）=sinx+cosx，…；
∴f_n是以4為周期變化，
∴f₁（

π

2

）=sin

π

2

+cos

π

2

=1，f₂（

π

2

）=cos

π

2

-sin

π

2

=-1，
f₃（

π

2

）=-sin

π

2

-cos

π

2

=-1，f₄（

π

2

）=-cos

π

2

+sin

π

2

=1，…；
∴f₁（

π

2

）+f₂（

π

2

）+…+f₂₀₁₄（

π

2

）=1+（-1）+（-1）+1+…+（-1）=0．
故選：B．

點評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算以及三角函數(shù)的應(yīng)用問題，解題時應(yīng)考查函數(shù)f_n（x）的周期性，總結(jié)規(guī)律，求出正確的答案．