【題目】設(shè)橢圓，定義橢圓的“相關(guān)圓”的方程為，若拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)重合，且橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)和其兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成直角三角形.

（1）求橢圓的方程和“相關(guān)圓”的方程；

（2）若直線與圓相切，且與橢圓交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).

①求證：；

②求的最大值.

【答案】（1）； （2）①證明見解析； ②

【解析】

（1）由拋物線焦點(diǎn)為及橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)和其兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，即可求得，從而可得到本題答案；

（2）①分直線l的斜率存在和不存在兩種情況考慮，求出的值，即可得到本題結(jié)論；②算出直線斜率不存在時(shí)的值，以及斜率存在時(shí)的最大值，通過比較大小，即可得到本題答案.

（1）易知拋物線焦點(diǎn)為，

又由的一個(gè)短軸端點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，

可得，

橢圓的方程為，

相關(guān)圓的方程為.

（2）①（i）斜率不存在時(shí)，可得的方程為，

聯(lián)立，

即或

，

；

（ii）斜率存在時(shí)，可設(shè)的方程為，，聯(lián)立，

，

由圓與相切可得，

，

由（i）（ii）知，恒成立.

②斜率不存在時(shí)，由①可得，

斜率存在時(shí)，由①可得

，

令，則，

，

（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”）

.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】我國(guó)在貴州省平塘縣境內(nèi)修建的500米口徑球面射電望遠(yuǎn)鏡（FAST）是目前世界上最大單口徑射電望遠(yuǎn)鏡.使用三年來，已發(fā)現(xiàn)132顆優(yōu)質(zhì)的脈沖星候選體，其中有93顆已被確認(rèn)為新發(fā)現(xiàn)的脈沖星，脈沖星是上世紀(jì)60年代天文學(xué)的四大發(fā)現(xiàn)之一，脈沖星就是正在快速自轉(zhuǎn)的中子星，每一顆脈沖星每?jī)擅}沖間隔時(shí)間（脈沖星的自轉(zhuǎn)周期）是-定的，最小小到0.0014秒，最長(zhǎng)的也不過11.765735秒.某-天文研究機(jī)構(gòu)觀測(cè)并統(tǒng)計(jì)了93顆已被確認(rèn)為新發(fā)現(xiàn)的脈沖星的自轉(zhuǎn)周期，繪制了如圖的頻率分布直方圖.

（1）在93顆新發(fā)現(xiàn)的脈沖星中，自轉(zhuǎn)周期在2至10秒的大約有多少顆？

（2）根據(jù)頻率分布直方圖，求新發(fā)現(xiàn)脈沖星自轉(zhuǎn)周期的平均值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)，，其中a，．

Ⅰ求的極大值；

Ⅱ設(shè)，，若對(duì)任意的，恒成立，求a的最大值；

Ⅲ設(shè)，若對(duì)任意給定的，在區(qū)間上總存在s，，使成立，求b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐的底面是平行四邊形，側(cè)面是邊長(zhǎng)為2的正三角形， , .

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）設(shè)是棱上的點(diǎn)，當(dāng)平面時(shí)，求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知命題：函數(shù)在上單調(diào)遞增；命題：函數(shù)在上單調(diào)遞減.

（Ⅰ）若是真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）若或為真命題，且為假命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】年初，湖北出現(xiàn)由新型冠狀病毒引發(fā)的肺炎.為防止病毒蔓延，各級(jí)政府相繼啟動(dòng)重大突發(fā)公共衛(wèi)生事件一級(jí)響應(yīng)，全國(guó)人心抗擊疫情.下圖表示月日至月日我國(guó)新型冠狀病毒肺炎單日新增治愈和新增確診病例數(shù)，則下列中表述錯(cuò)誤的是（ ）

A.月下旬新增確診人數(shù)呈波動(dòng)下降趨勢(shì)

B.隨著全國(guó)醫(yī)療救治力度逐漸加大，月下旬單日治愈人數(shù)超過確診人數(shù)

C.月日至月日新增確診人數(shù)波動(dòng)最大

D.我國(guó)新型冠狀病毒肺炎累計(jì)確診人數(shù)在月日左右達(dá)到峰值

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，四邊形是矩形，沿對(duì)角線將折起，使得點(diǎn)在平面內(nèi)的射影恰好落在邊上．

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)有編號(hào)分別為1，2，3，4，5，6，7，8的八個(gè)小球和編號(hào)為1，2，3，4，5，6，7，8的八個(gè)盒子.現(xiàn)將這八個(gè)小球隨機(jī)放入八個(gè)盒子內(nèi)，要求每個(gè)盒子內(nèi)放一個(gè)球，要求編號(hào)為偶數(shù)的小球在編號(hào)為偶數(shù)的盒子內(nèi)，且至少有四個(gè)小球在相同編號(hào)的盒子內(nèi)，則一共有______種投放方法.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的中心為，左、右焦點(diǎn)分別為、，上頂點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，且、、成等比數(shù)列.

（1）求橢圓的離心率；

（2）判斷的形狀，并說明理由.

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