已知向量
a
=(sin
x
3
，
3
cos
x
3
)，
b
=(1，1)，函數(shù)f(x)=
a
•
b
cos
x
3
．
（1）將f（x）寫成Asin（ωx+φ）+B的形式，并求其圖象的對稱中心；
（2）如果△ABC的三邊a、b、c滿足b2=ac，且邊b所對的角為x，試求x的取值范圍及此時函數(shù)f（x）的值域．
分析：（1）利用平面向量的數(shù)量積運算法則建立f（x）的關(guān)系式，利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡，整理后，再利用特殊角的三角函數(shù)值及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，令這個角等于kπ，求出x的值，得到對稱中心的橫坐標(biāo)，代入函數(shù)解析式得到對稱中心的縱坐標(biāo)，確定出對稱中心；
（2）利用余弦定理表示出cosx，把已知的b2=ac代入，化簡后根據(jù)基本不等式可得cosx的范圍，根據(jù)余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得x的范圍，根據(jù)x的范圍求出這個角的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的值域可得函數(shù)的值域及此時x的范圍．
解答：解：（1）f（x）=sin
x
3
cos
x
3
+
3
cos2
x
3

=
1
2
sin
2x
3
+
3
2
（1+cos
2x
3
）
=
1
2
sin
2x
3
+
3
2
cos
2x
3
+
3
2

=sin（
2x
3
+
π
3
）+
3
2
，
令sin（
2x
3
+
π
3
）=0，即
2x
3
+
π
3
=kπ（k∈Z），解得x=
3k-1
2
π（k∈Z），
則對稱中心為（
3k-1
2
π，
3
2
）（k∈Z）；
（2）∵b2=ac，
∴根據(jù)余弦定理得：cosx=
a2+c2-b2
2ac
=
a2+c2-ac
2ac
≥
2ac-ac
2ac
=
1
2
，
∴
1
2
≤cosx＜1，即0＜x≤
π
3
，
∴
π
3
＜
2x
3
+
π
3
≤
5π
9
，
∵|
π
3
-
π
2
|＞|
5π
9
-
π
2
|，
∴sin
π
3
＜sin（
2x
3
+
π
3
）≤1，
∴
3
＜sin（
2x
3
+
π
3
）+
3
2
≤1+
3
2
，
則x∈（0，
π
3
]時，函數(shù)f（x）的值域為（
3
，1+
3
2
]．
點評：此題考查了余弦定理，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，平面向量的數(shù)量積運算法則，基本不等式及正弦函數(shù)的定義域及值域，熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(sinθ，
3
)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ；
（2）求|
a
+
b
|的最大值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(
2
，2)且f(x)=
a
•
b
+2
（1）求f（x）的表達(dá)式．
（2）用“五點作圖法”畫出函數(shù)f（x）在一個周期上的圖象．
（3）寫出f（x）在[-π，π]上的單調(diào)遞減區(qū)間．
（4）設(shè)關(guān)于x的方程f（x）=m在x∈[-π，π]上的根為x1，x2且m∈(1，
2
)，求x1+x2的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(sinθ，-2)，
b
=(1，cosθ)，且
a
⊥
b
，則sin2θ+cos2θ的值為（　　）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(sinθ，1)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ的值；
（2）若已知sinθ+cosθ=
2
sin(θ+
π
4
)，利用此結(jié)論求|
a
+
b
|的最大值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(2，2)且f(x)=
a
•
b
+2
①用“五點法”作出函數(shù)y=f（x）在長度為一個周期的閉區(qū)間的圖象．
②求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；
③求函數(shù)f（x）的最大值，并求出取得最大值時自變量x的取值集合
④函數(shù)f（x）的圖象可以由函數(shù)y=sin2x（x∈R）的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到？
⑤當(dāng)x∈[0，π]，求函數(shù)y=2sin(x-
π
4
)的值域
解：（1）列表
（2）作圖
精英家教網(wǎng)

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案