Question

【題目】如圖，四棱錐中，底面是梯形，，，，，，為邊的中點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）求證：平面平面；

（3）求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）.

【解析】

（1）取中點(diǎn)，連接、，推導(dǎo)出是平行四邊形，從而，由此能證明平面；

（2）取中點(diǎn)，連接、，取的中點(diǎn)，連接，推導(dǎo)出，，由此能證明平面，再利用面面垂直的判定定理可得出結(jié)論；

（3）由，由此能求出三棱錐的體積.

（1）取中點(diǎn)，連接、，

是的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則且，

，且，且，

所以，四邊形是平行四邊形，，

平面，平面，因此，平面；

（2）取中點(diǎn)，連接、，取的中點(diǎn)，連接.

，為的中點(diǎn)，，

在梯形中，，，為的中點(diǎn)，

所以，，又，則四邊形為矩形，

，且，，

為等腰直角三角形，且，

，，，

在中，由余弦定理得，

，，，

，平面，

平面，平面平面；

（3）是的中點(diǎn)，，

平面，，，

三棱錐的體積為.