Question

定義在（0，+∞）上的函數(shù)y=f（x）滿足f（1）=

1

2

，且f′（x）＞

1

x

，則不等式f（e^x）＞

2x+1

2

的解集為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：其他不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：由題意，構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-lnx，確定函數(shù)g（x）的解析式，不等式f（e^x）＞

2x+1

2

的轉(zhuǎn)化為g（e^x）＞g（1），即可得出結(jié)論

解答： 解：∵f′（x）＞

1

x

，
∴f′（x）-

1

x

＞0，
∴（f（x）-lnx）′＞0，
設(shè)g（x）=f（x）-lnx，
∴g（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，
∴g（e^x）=f（e^x）-lne^x=f（e^x）-x，
∵f（e^x）＞

2x+1

2

=x+

1

2

∴f（e^x）-x＞

1

2

，
∴g（e^x）＞

1

2

∵f（1）=

1

2

，
∴g（e⁰）=f（e⁰）-0，
即g（1）=f（1）=

1

2

，
∴g（e^x）＞g（1）=g（e⁰），
∴x＞0，
故答案為（0，+∞）

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，正確構(gòu)建函數(shù)是關(guān)鍵．