Question

設(shè)數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a₁=2，a_n+1=4a_n-3n+1，n∈N^*，則數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：本題可根據(jù)已知條件構(gòu)造新數(shù)列，由新數(shù)列的通項(xiàng)公式得到數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，再對(duì)數(shù)列{a_n}用進(jìn)行分組求和的方法求和，得到本題結(jié)論．

解答： 解：∵a_n+1=4a_n-3n+1，
∴a_n+1-（n+1）=4（a_n-n），
∵a₁=2，
∴a₁-1=1，
∴數(shù)列{a_n-n}是以1為首項(xiàng)，公比為4的等比數(shù)列．
∴an-n=1×4n-1=4^n-1．
即an=4n-1+n．
∴Sn=(1+1)+(4+2)+(42+3)++(4n-1+n)
=（1+4+4²+…+4^n-1）+（1+2+3+…+n）
=

1(1-4n)

1-4

+

n(n+1)

2

=

n(n+1)

2

+

4n-1

3

．
故應(yīng)填

n(n+1)

2

+

4n-1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，用到了構(gòu)造新數(shù)列的辦法求通項(xiàng)公式，還用了分組求和的方法求前n項(xiàng)的和．本題有一定的維度，屬于中檔題．