Question

已知，，，其中。

（1）若與的圖像在交點（2，）處的切線互相垂直，

求的值；

（2）若是函數(shù)的一個極值點，和1是的兩個零點，

且∈（，求；

（3）當(dāng)時，若，是的兩個極值點，當(dāng)|－|>1時，

求證：|－|

 

Answer 1

（1）（2）=3（3）

【解析】

試題分析：（1），，由與的圖像在交點（2，）處的切線互相垂直，可得解之即可；

（2）由題=，

，由題知可解得 ，故=6－（－），=，

討論的單調(diào)性可得∈（3,4），故=3；

（3）當(dāng)時，=，

討論的單調(diào)性，|－|=極大值－極小值=F(－)―F(1)

=―)+―1,

設(shè)

討論函數(shù)，求出其最小值，即得|－|>3－4

（1）【解析】
，

由題知，即 解得

（2）=，

=，

由題知，即 解得=6，=－1

∴=6－（－），=

∵＞0，由＞0，解得0＜＜2；由＜0，解得＞2

∴在（0,2）上單調(diào)遞增，在（2，+∞）單調(diào)遞減，

故至多有兩個零點，其中∈（0,2），∈（2, +∞）

又＞=0，=6（－1）＞0，=6（－2）＜0

∴∈（3,4），故=3

（3）當(dāng)時，=，

=，

由題知=0在（0，+∞）上有兩個不同根，，則＜0且≠－2，

此時=0的兩根為－，1，

由題知|－－1|＞1，則++1＞1，+4＞0

又∵＜0，∴＜－4,此時－＞1

則與隨的變化情況如下表:

	(0,1)	1	(1, －)	－	(－,+∞）
	－	0	+	0	－
		極小值		極大值

 

∴|－|=極大值－極小值=F(－)―F(1)

=―)+―1,

設(shè)，則

,，∵＜－4，∴＞―，∴＞0，

∴在（―∞，―4）上是增函數(shù)，＜

從而在（―∞，―4）上是減函數(shù)，∴>=3－4

所以|－|>3－4

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用