Question

已知(1+2x)12=a0+a1x+a2x2+…+a12x12．
（1）求a₁+a₂+…+a₁₂的值；
（2）求a₀-a₁+a₂-a₃+…-a₁₁+a₁₂的值；
（3）求a₁+2a₂+…+12a₁₂的值．

Answer 1

分析：（1）在已知的等式中，令x=0，可得a₀=1．在所給的已知等式中，再令x=1，可得 a₀+a₁+a₂+…+a₁₂ =3¹²，從而求得a₁+a₂+…+a₁₂ 的值．
（2）在所給的已知等式中，令x=-1，可得 a₀-a₁+a₂-a₃+…+a₁₂ 的值．
（3）把所給的等式兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)數(shù)，再令x=1，可得 a₁+2a₂+…+12a₁₂的值．

解答：解：（1）在已知(1+2x)12=a0+a1x+a2x2+…+a12x12 中，令x=0，可得a₀=1．
在所給的已知等式中，
令x=1，可得 a₀+a₁+a₂+…+a₁₂ =3¹²，
∴a₁+a₂+…+a₁₂=3¹²-1．
（2）在所給的已知等式中，令x=-1，可得 a₀-a₁+a₂-a₃+…+a₁₂ =（1-2）¹²=1．
（3）把所給的等式兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)數(shù)，可得 24（1+2x）¹¹=a₁+2a₂x+3a₃x²+…+12a₁₂ x¹¹，
再令x=1，可得 a₁+2a₂+…+12a₁₂=24×3¹¹．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，注意根據(jù)題意，分析所給代數(shù)式的特點(diǎn)，通過給二項(xiàng)式的x賦值，求展開式的系數(shù)和，可以簡便的求出答案，屬于中檔題．