Question

如圖，在y軸的正半軸上依次有點A₁，A₂，…A_n，…，其中點A₁（0，1）、A₂（0，10）且|A_n-1A_n|=3|A_nA_n+1|（n=2，3，4，…），在射線y=x（x≥0）上一次有點B₁，B₂，…B_n，…，點B₁（3，3），且|OBn|=|OBn-1|+2

2

（n=2，3，4，…）．
（1）求點A_n、B_n的坐標(biāo)（用含n的式子表示）．
（2）設(shè)四邊形A_nB_nB_n+1A_n+1的面積為S_n，解答下列問題：
①求數(shù)列{S_n}的通項公式；
②問{S_n}中是否存在連續(xù)的三項S_n，S_n+1，S_n+2（n∈N*）恰好成等差數(shù)列？若存在，求出所有這樣的三項；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用|A_n-1A_n|=3|A_nA_n+1|，及|A₁A₂|=9，結(jié)合等比數(shù)列的通項公式求得|A_nA_n+1|，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，可得|A₁A₂|+|A₂A₃|+…+|A_n-1A_n|，從而得出A_n的坐標(biāo)；確定{|OB_n|}是以3

2

為首項，2

2

為公差的等差數(shù)列，可求B_n的坐標(biāo)；
（2）①連接A_nB_n+1，設(shè)四邊形A_nB_nB_n+1A_n+1的面積為S_n，則S_n=S△AnAn+1Bn+1+S△BnBn+1An；
②對于存在性問題，可先假設(shè)存在，即假設(shè)存在不同的三項S_n，S_n+1，S_n+2（n∈N^*）恰好成等差數(shù)列，代入求出結(jié)果，若出現(xiàn)矛盾，則說明假設(shè)不成立，即不存在；否則存在．

解答： 解：（1）|A_n-1A_n|=3|A_nA_n+1|，且|A₁A₂|=10-1=9，
∴|A_nA_n+1|=|A₁A₂|(

1

3

)n-1=9×(

1

3

)n-1=(

1

3

)n-3．
∴|A₁A₂|+|A₂A₃|+…+|A_n-1A_n|=9+3+1+…+(

1

3

)n-4=

29

2

-

1

2

•(

1

3

)n-4，
∴A_n的坐標(biāo)（0，

29

2

-

1

2

•(

1

3

)n-4），
∵|OB_n|-|OB_n-1|=2

2

（n=2，3，…）且|OB₁|=3

2

，
∴{|OB_n|}是以3

2

為首項，2

2

為公差的等差數(shù)列
∴|OB_n|=3

2

+（n-1）×2

2

=（2n+1）

2

，
∴B_n的坐標(biāo)為（2n+1，2n+1）．
（2）①連接A_nB_n+1，設(shè)四邊形A_nB_nB_n+1A_n+1的面積為S_n，
則S_n=S△AnAn+1Bn+1+S△BnBn+1An=

1

2

•（

1

3

）^n-3×（2n+3）+

1

2

•2

2

[

29

2

-

1

2

•(

1

3

)n-4]•

2

2

=

29

2

+

n

3n-3

．
②由S_n，S_n+1，S_n+2（n∈N^*）恰好成等差數(shù)列，可得2（

29

2

+

n+1

3n-2

）=

29

2

+

n

3n-3

+

29

2

+

n+2

3n-1

∴18（n+1）=27n+3（n+2），∴n=1，
∴存在連續(xù)的三項S₁，S₂，S₃恰好成等差數(shù)列．

點評：本題考查數(shù)列與函數(shù)的結(jié)合、等比數(shù)列的通項公式、等差關(guān)系的確定等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于難題．