Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=

1

3

，a_n+1=

n+1

3n

an
（Ⅰ）證明{

an

n

}是等比數(shù)列，并求{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比關系的確定

專題：計算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由a_n+1=

n+1

3n

an，得

an+1

n+1

=

1

3

×

an

n

，從而可判斷{

an

n

}是等比數(shù)列，由等比數(shù)列通項公式可得

an

n

，進而可得a_n；
（Ⅱ）利用錯位相減法可求得S_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵a₁=

1

3

，a_n+1=

n+1

3n

an，
∴a_n＞0，
∴

an+1

n+1

=

1

3

×

an

n

，又

a1

1

=

1

3

，
∴{

an

n

}為首項為

1

3

，公比為

1

3

的等比數(shù)列，
∴

an

n

=

1

3

×(

1

3

)n-1，∴an=

n

3n

；
（Ⅱ） S_n=

1

3

+

2

32

+

3

33

+…+

n

3n

…①，
∴

1

3

Sn=

1

32

+

2

33

+…+

n-1

3n

+

n

3n+1

…②，
①-②得：

2

3

Sn=

1

3

+

1

32

+

1

33

+…+

1

3n

-

n

3n+1

=

1 3 (1- 1 3n )

1- 1 3

-

n

3n+1

，
∴Sn=

3

4

(1-

1

3n

)-

n

2×3n

，
∴Sn=

3n+1-3-2n

4×3n

．

點評：本題考查等比數(shù)列的定義、通項公式及數(shù)列求和，錯位相減法對數(shù)列求和是高考考查的重點內容，要熟練掌握．