Question

17．已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的六個頂點都在球O的球面上，AB⊥BC，且AB=BC=AA₁=2，則球O的半徑為$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，可得AB、BC、BB₁兩兩互相垂直．因此直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的外接球，就是以AB、BC、BB₁為長、寬、高的長方體的外接球，根據(jù)長方體的對角線公式算出球的直徑，可得球O的半徑．

解答 解：∵AB=BC=2，∠ABC=90°，∴△ABC是以A為直角頂點的等腰直角三角形，
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BB₁⊥平面ABC，
∴AB、BC、BB₁兩兩互相垂直．
因此，以AB、BC、BB₁為長、寬、高作長方體，
該長方體的外接球經(jīng)過直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的六個頂點．
∵長方體的對角線長等于$\sqrt{4+4+4}$=2$\sqrt{3}$．
∴長方體的外接球直徑2R=2$\sqrt{3}$，得R=$\sqrt{3}$．
故答案為：$\sqrt{3}$．

點評 本題給出特殊的三棱柱，求它的外接球O的半徑．著重考查了直三棱柱的性質(zhì)、長方體的對角線公式等知識，屬于中檔題．