已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左右焦點分別為F1、F2,且|F1F2|=2.以O(shè)為圓心,a為半徑作圓,若過點P(
a2
c
,0)的圓的兩切線互相垂直,切點分別為A、B.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)過點F1的直線l與該橢圓交于M,N兩點,且|
F2M
+
F2N
|=
2
26
3
,求直線l的方程.
考點:直線與圓錐曲線的綜合問題
專題:圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析:(Ⅰ)由已知條件推導出c=1,
a2
c
=
2
a
,由此能求出橢圓方程.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0),設(shè)直線方程為y=k(x+1),設(shè)M(x1,y1 ),N(x2,y2),聯(lián)立
y=k(x+1)
x2
2
+y2=1
,得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0,由此利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合題設(shè)條件能求出直線l的方程.
解答: 解:(Ⅰ)由題意知,橢圓的半焦距c=1,
∵以O(shè)為圓心,a為半徑作圓,∴圓O:x2+y2=a2
∵過點P(
a2
c
,0)的圓的兩切線互相垂直,切點分別為A、B,
∴四邊形OAPB為正方形,
a2
c
=
2
a
,∴a=
2

由a2=b2+c2,知b2=1,
∴橢圓方程為
x2
2
+y2
=1.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0),
若直線l的斜率不存在,則直線l的方程為x=-1,
將x=-1代入橢圓方程得y=±
2
2

設(shè)M(-1,
2
2
),N(-1,-
2
2
),
F2M
=(-2,
2
2
),N(-1,-
2
2
),
F2M
=(-2,
2
2
)+(-2,-
2
2
)=(-4,0),
∴|
F2M
|=4,與題設(shè)矛盾,
∴直線l的斜率存在,設(shè)直線的斜率為k,則直線方程為y=k(x+1),
設(shè)M(x1,y1 ),N(x2,y2),
聯(lián)立
x2
2
+y2=1
y=k(x+1)
,得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0,
由根與系數(shù)的關(guān)系知x1+x2=
-4k2
1+2k2
,
從而y1+y2=k(x1+x2+2)=
2k
1+2k2
,
又∵
F2M
=(x1-1,y1),
F2N
=(x2-1,y2),
∴|
F2M
+
F2N
|2=(x1+x2-2)2+(y1+y22
=(
8k2+2
1+2k2
2+(
2k
1+2k2
2
=
4(16k4+9k2+1)
4k4 +4k2+1
,
4(16k4+9k2+1)
4k4 +4k2+1
=(
2
26
3
2
化簡,得40k4-23k2-17=0,
解得k2=1,或k2=-
17
40
(舍),
∴k=±1,
∴直線l的方程為y=x+1或y=-x-1.
點評:本題考查橢圓方程和直線方程的求法,考查推理論證能力、考查運算求解能力,考查函數(shù)與方程思想,解題時要認真審題,注意根與系數(shù)的關(guān)系的合理運用.
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π
6
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π
6
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A、0
B、
π
6
C、
π
3
D、
π
2

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