Question

已知空間4個球，它們的半徑分別為2，2，3，3，每個球都與其他三個球外切，另有一個小球與這4個球都外切，則這個小球的半徑為（　�。�

• A．

  4

  11

• B．

  5

  11

• C．

  6

  11

• D．

  7

  11

Answer 1

分析：設(shè)半徑為3的兩個球的球心分別為A、B，半徑為2的兩個球的球心分別為C、D，與它們都相切的小球球心為O，半徑為r．得如圖的四棱錐D-ABCD，其中AB=6，CD=4，AD=AC=BD=BC=5，連接OA、OB、OC、OD，取AB、CD中點(diǎn)F、G，連接OF、OG．可證出FG是異面直線AB、CD的公垂線段且F、O、G三點(diǎn)共線，算出FG=2

3

，利用OF+OG=FG列出關(guān)于r的方程，解之即可得到r的值，即得小球的半徑．

解答：解：設(shè)半徑為3的兩個球的球心分別為A、B，半徑為2的兩個球的球心分別為C、D，
與它們都相切的小球球心為O，半徑為r
如圖，連接AB、BC、CD、DA、AC、BD，得四棱錐D-ABCD
得AB=6，CD=4，AD=AC=BD=BC=5
連接OA、OB、OC、OD，取AB、CD中點(diǎn)F、G，連接OF、OG
∵等腰△ABC中，CA=CB=5，AF=BF=3
∴CF=

52-32

=4，同理可得DF=4
由此可得△CDF中，DF=CF，結(jié)合CG=DG，
連接FG，得FG是等腰△CDF底邊中線，所以FG⊥CD
同理可得FG⊥AB，所以FG是異面直線AB、CD的公垂線段，
∵OA=OB=3+r，OD=OC=2+r，F(xiàn)、G分別是AB、CD的中點(diǎn)
∴點(diǎn)O在線段FG上，即F、O、G三點(diǎn)共線
∵Rt△AOF中，AF=3，OA=3+r，∴OF=

OA2-AF2

=

(r+3)2-9

同理可得：OG=

(r+2)2-4

，
∵Rt△CFG中，F(xiàn)G=

CF2-CG2

=2

3

∴OF+OG=FG，即

(r+3)2-9

+

(r+2)2-4

=2

3

，解之得r=

6

11

（舍負(fù)）
故選：C

點(diǎn)評：本題給出一個小球與另外四個球都相切，在已知四個大球半徑的情況下求小球半徑，著重考查了空間直線垂直的判定和球的外切等知識，屬于中檔題．